数论题目

题目

已知a^(n+1)-(a+1)^n=2001，a、n均为正整数，则a和n的值分别是多少？

解答

（1）两边同时mod a，则a^(n+1)-(a+1)^n≡0-1(mod a)≡-1(mod a)，则2001≡-1(mod a)，则a是2002的约数。

（2）若a≡0(mod 3)，则a+1≡1(mod 3)，则a^(n+1)-(a+1)^n≡0-1(mod 3)≡-1(mod 3)，而2001≡0(mod 3)，则a不能被3整除。

（3）若a≡2(mod 3)，则a+1≡0(mod 3)，则a^(n+1)-(a+1)^n≡2-0(mod 3)≡2(mod 3)，而2001≡0(mod 3)，则a不能是被3除余2的数。

（4）综合(2)(3)，只能是a≡1(mod 3)，则a+1≡2(mod 3)，

则a^(n+1)-(a+1)^n≡1-2^n(mod 3)，而2001≡0(mod 3)，则1-2^n≡0(mod 3)，

2^n≡1(mod 3)。当n为奇数时，2^n≡2(mod 3)；当n为偶数是，2^n≡1(mod 3)，则n是偶数。

（5）两边同时mod a+1，则a^(n+1)-(a+1)^n≡(-1)^(n+1)-0(mod a+1)，由于n是偶数，则(-1)^(n+1)=-1，则a^(n+1)-(a+1)^n≡-1(mod a+1)，则a+1也是2002的约数。

（6）结合(1)(5)，a、a+1均为2002的约数，而2002=2*7*11*13，则a=1或a=13。

（7）若a=1，则1-2^n=2001，n无正整数解，舍去。

（8）若a=13，则13^(n+1)-14^n=2001，由于n为偶数，设n=2k(k为正整数)，则13^(n+1)=13*13^(2k)=13*169^k=13*(21*8+1)^k，则13^(n+1)≡5*1(mod 8)≡5(mod 8)。而2001≡1(mod 8)，则14^n≡4(mod 8)，而当n≥3时，14^n≡0(mod 8)，则n只能等于2，验证13^3-14^2=2197-196=2001，符合。

综上所述，a=13，n=2。