用户:CaffeineP/把推出关系写成一串

$A\Rightarrow B$，且 $B\Rightarrow C$，故 $A\Rightarrow C$ 。这是蕴含关系（本文中称推出关系）的传递性。

我个人是提倡效仿 $A<B<C$ 和 $A\subseteq B\subseteq C$ 的写法，写成 $A\Rightarrow B\Rightarrow C$ 这种形式的。

由于有些人不接受这种写法，认为 $A\Rightarrow B\Rightarrow C$ 应解读成 $A\Rightarrow \color {CadetBlue}({\color {black}B\Rightarrow C})$，所以我来论证这种写法有哪些好处。

简而言之，“把推出关系写成一串”的写法能用简短的语言表达丰富的含义。

• $A\Rightarrow B\Rightarrow C$
  • 表示 $A\Rightarrow B$ 且 $B\Rightarrow C$，故 $A\Rightarrow C$ 。
• $A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}$
  • 表示 $A_{1}$ 经过一长串推理可推出 $A_{n}$ 。
• $A\Leftrightarrow B\Leftrightarrow C$
  • 表示 $A\Leftrightarrow B$ 且 $B\Leftrightarrow C$，故 $A\Leftrightarrow C$ 。
• $A_{1}\Leftrightarrow A_{2}\Leftrightarrow \cdots \Leftrightarrow A_{n}$
  • 表示从 $A_{1}$ 到 $A_{n}$ 的所有命题互相等价。
• ${\mathit {true}}\Leftrightarrow A\Rightarrow B$
  • 表示 $A$ 成立且 $A\Rightarrow B$，故 $B$ 成立。
• ${\mathit {true}}\Leftrightarrow A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}$
  • 表示从 $A_{1}$ 到 $A_{n}$ 的每个命题都成立。
• $A\Rightarrow B\Leftrightarrow {\mathit {false}}$
  • 表示 $A\Rightarrow B$ 且 $B$ 不成立，故 $A$ 不成立。
• $A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}\Leftrightarrow {\mathit {false}}$
  • 表示从 $A_{1}$ 到 $A_{n}$ 的每个命题都不成立。
• $A\Rightarrow \color {CadetBlue}({\color {black}B\Rightarrow C})$
  • 表示 $A\land B\Rightarrow C$ 。
• $A\Rightarrow \color {CadetBlue}({\color {black}B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}})$
  • 表示从 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每一步推导都可能用了 $A$ 作为前提条件。
• $A\Rightarrow \color {CadetBlue}({\color {black}{\mathit {true}}\Leftrightarrow B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}})$
  • 表示 $A$ 能推出从 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每个命题都成立。
• $A\Rightarrow \color {CadetBlue}({\color {black}B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}\Leftrightarrow {\mathit {false}}})$
  • 表示 $A$ 能推出从 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每个命题都不成立。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}A_{1}\Rightarrow A_{2}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}})$
  • 表示从 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每一步推导都可能用了 $A_{1}\Rightarrow A_{2}$ 作为前提条件。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}{A_{1}\Rightarrow A_{2}}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}{\mathit {true}}\Leftrightarrow B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}})$
  • 表示 $A_{1}\Rightarrow A_{2}$ 能推出从 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每个命题都成立。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}{A_{1}\Rightarrow A_{2}}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}\Leftrightarrow {\mathit {false}}})$
  • 表示 $A_{1}\Rightarrow A_{2}$ 能推出从 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每个命题都不成立。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}})$
  • 表示 $A_{1}$ 经过一长串推理可推出 $A_{n}$ ，以此为前提条件，从 $B_{1}$ 出发经过一长串推理可推出 $B_{n}$ 。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}{\mathit {true}}\Leftrightarrow B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}})$
  • 表示 $A_{1}$ 经过一长串推理可推出 $A_{n}$ ，以此为前提条件能推出从 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每个命题都成立。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}\Leftrightarrow {\mathit {false}}})$
  • 表示 $A_{1}$ 经过一长串推理可推出 $A_{n}$ ，以此为前提条件能推出从 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每个命题都不成立。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}{\mathit {true}}\Leftrightarrow A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}})$
  • 表示从 $A_{1}$ 到 $A_{n}$ 的每个命题都成立，以此为前提条件，从 $B_{1}$ 出发经过一长串推理可推出 $B_{n}$ 。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}{\mathit {true}}\Leftrightarrow A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}{\mathit {true}}\Leftrightarrow B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}})$
  • 表示从 $A_{1}$ 到 $A_{n}$ 的每个命题都成立，以此为前提条件能推出从 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每个命题都成立。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}{\mathit {true}}\Leftrightarrow A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}\Leftrightarrow {\mathit {false}}})$
  • 表示从 $A_{1}$ 到 $A_{n}$ 的每个命题都成立，以此为前提条件能推出从 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每个命题都不成立。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}\Leftrightarrow {\mathit {false}}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}})$
  • 表示从 $A_{1}$ 到 $A_{n}$ 的每个命题都不成立，以此为前提条件，从 $B_{1}$ 出发经过一长串推理可推出 $B_{n}$ 。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}\Leftrightarrow {\mathit {false}}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}{\mathit {true}}\Leftrightarrow B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}})$
  • 表示从 $A_{1}$ 到 $A_{n}$ 的每个命题都不成立，以此为前提条件能推出从 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每个命题都成立。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}\Leftrightarrow {\mathit {false}}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}\Leftrightarrow {\mathit {false}}})$
  • 表示从 $A_{1}$ 到 $A_{n}$ 的每个命题都不成立，以此为前提条件能推出从 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每个命题都不成立。
• $A_{1}\Rightarrow \cdots \Rightarrow \color {CadetBlue}({\color {black}{\mathit {true}}\Leftrightarrow B_{1}\Rightarrow \cdots \Rightarrow }\,({\color {black}{\mathit {true}}\Leftrightarrow C_{1}\Rightarrow \cdots C_{n}}))$
  • 表示在推理的过程中反复将得出的结论补充进前提条件中。