平面向量

物理學中的速度，力，位移都是向量。

定義

向量是一類又有長度又有方向的量。而那些只有長度沒有方向的量是標量。標量的典型例子是溫度。然而，並不是所有的有方向的量都是向量，比如電流。向量表示為加粗的小寫拉丁字母，在手寫中，我們在小寫拉丁字母上加箭頭： ${\vec {a}}$ 。

我們現在來討論平面向量。顧名思義，平面向量是在平面內的向量。在圖中，A(1, 0)，B(2, 3)，我們可以將這個向量表示為 ${\vec {u}}$ 或 ${\overrightarrow {AB}}$ 。

向量具有起點和終點。在上面的例子中，A是起點，B是終點。我們假設 $M(x_{1},y_{1})$ ， $N(x_{2},y_{2})$ ，那麼 ${\overrightarrow {MN}}$ 可以用有序數對的形式表示成 $(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})$ ，也可以用矩陣的形式表示成 ${\begin{bmatrix}x_{2}-x_{1}\\y_{2}-y_{1}\end{bmatrix}}$ 。

接下來，讓我們先拋開平面直角坐標系。

一些重要定義

我們將向量的長度稱為向量的模。向量 ${\vec {v}}$ 的模記為 $|{\vec {v}}|$ 。由勾股定理可以得到：對於向量 ${\vec {v}}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ 來說， $|{\vec {v}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ 。

我們之前說到，向量是有方向的。那麼，如何來描述向量的方向相等呢？我們來看這張圖。

我們看到，圖片中的兩向量平行。因此，我們稱向量相等的兩向量平行，稱為平行向量。我們將圖中的向量 ${\overrightarrow {EZ}}$ 平移，發現平移後向量可以和向量 ${\overrightarrow {OB}}$ 所在直線重合，因此，平行向量又稱為共線向量。

如果一個向量經平移後可以與另一個向量重合，那麼我們說這兩個向量相等。也就是說，對於 ${\vec {v}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}$ 和 ${\vec {u}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{bmatrix}}$ ，若 $x_{1}=x_{2}$ 且 $y_{1}=y_{2}$ ，那麼 ${\vec {u}}={\vec {v}}$ 。

有一類向量長度為零，稱為零向量。零向量記為 ${\boldsymbol {0}}$ 。零向量的模為零，即 $|{\boldsymbol {0}}|=0$ ，而零向量的方向不確定。因此，我們說，零向量與任何向量共線，也與任何向量垂直。

運算

研究一個新的對象，而不研究它的運算是毫無意義的。

加法

讓我們來考察一個點的位移。

在圖中，假設在點 $A$ 處有一質點，該質點兩次位移 ${\overrightarrow {AB}}$ ， ${\overrightarrow {BC}}$ 的結果與進行位移 ${\overrightarrow {AC}}$ 的結果相同。因此我們可以認為 ${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}$ 。