有歧義的概率問題及其兩種理解

題目：一道單選題有 A 、B 、C 、D 四個選項，考生隨機選了一個，接着兩個錯誤選項被隨機排除，這兩個選項與考生最初的選項不重疊。最後考生選擇了剩下的那個選項，他的正確概率是多少？

這道題有歧義是因為「隨機排除兩個錯誤選項」有兩種不同的可能標準：

（1）考生剩下的三個選項中可能有兩個或三個錯誤，從中隨機選兩個排除；

（2）從所有三個錯誤選項中隨機選兩個排除，只是恰好沒有排除考生最初的選項。

後者是條件概率問題，而前者不是。前者可看作三門問題的變形。

第一種理解的解法：不妨設正確選項為 A ，這時有兩種可能：

（1）考生最初選擇了 A ，則不妨設排除了 B 和 C 。則考生最終選項為 D ，錯誤。（概率：${\frac {1}{4}}$）

（2）考生最初的選項不是 A ，不妨設為 B 。此時只能排除 C 和 D ，考生最終選項為 A ，正確。（概率：${\frac {3}{4}}$）

考慮兩種可能情況，考生最終的正確概率為 ${\frac {3}{4}}$ 。

第二種理解的解法：不妨設正確選項為 A ，且排除了 B 和 C 。若不考慮排除的選項與考生最初選項是否重疊，有三種可能：

（1）考生最初選擇了 A ，則最終選項為 D ，錯誤。（概率：${\frac {1}{4}}$）

（2）考生最初選擇了 B 或 C ，與排除的選項重疊了，這種情況不符合題意，應排除在外。（概率：${\frac {2}{4}}$）

（3）考生最初選擇了 D ，則最終選項為 A ，正確。（概率：${\frac {1}{4}}$）

使用條件概率公式：$P(X|Y)={\frac {P(XY)}{P(Y)}}$，得出考生最終的正確概率為 ${\frac {\frac {1}{4}}{{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{2}}$ 。

兩種理解方式得出的答案不同，這是因為題目沒有明確「隨機排除」時是否有意避開了考生最初的選項。如果是有意避開而非碰巧，那麼這一篩選行為帶來的信息會影響事件的概率。

另外，很多涉及「隨機」的問題都有多種解讀方法（按照何種概率分布），例如「隨機取圓的一條弦」就有不同的隨機取法。