數論題目

題目

已知a^(n+1)-(a+1)^n=2001，a、n均為正整數，則a和n的值分別是多少？

解答

（1）兩邊同時mod a，則a^(n+1)-(a+1)^n≡0-1(mod a)≡-1(mod a)，則2001≡-1(mod a)，則a是2002的約數。

（2）若a≡0(mod 3)，則a+1≡1(mod 3)，則a^(n+1)-(a+1)^n≡0-1(mod 3)≡-1(mod 3)，而2001≡0(mod 3)，則a不能被3整除。

（3）若a≡2(mod 3)，則a+1≡0(mod 3)，則a^(n+1)-(a+1)^n≡2-0(mod 3)≡2(mod 3)，而2001≡0(mod 3)，則a不能是被3除餘2的數。

（4）綜合(2)(3)，只能是a≡1(mod 3)，則a+1≡2(mod 3)，

則a^(n+1)-(a+1)^n≡1-2^n(mod 3)，而2001≡0(mod 3)，則1-2^n≡0(mod 3)，

2^n≡1(mod 3)。當n為奇數時，2^n≡2(mod 3)；當n為偶數是，2^n≡1(mod 3)，則n是偶數。

（5）兩邊同時mod a+1，則a^(n+1)-(a+1)^n≡(-1)^(n+1)-0(mod a+1)，由於n是偶數，則(-1)^(n+1)=-1，則a^(n+1)-(a+1)^n≡-1(mod a+1)，則a+1也是2002的約數。

（6）結合(1)(5)，a、a+1均為2002的約數，而2002=2*7*11*13，則a=1或a=13。

（7）若a=1，則1-2^n=2001，n無正整數解，捨去。

（8）若a=13，則13^(n+1)-14^n=2001，由於n為偶數，設n=2k(k為正整數)，則13^(n+1)=13*13^(2k)=13*169^k=13*(21*8+1)^k，則13^(n+1)≡5*1(mod 8)≡5(mod 8)。而2001≡1(mod 8)，則14^n≡4(mod 8)，而當n≥3時，14^n≡0(mod 8)，則n只能等於2，驗證13^3-14^2=2197-196=2001，符合。

綜上所述，a=13，n=2。