特征值是正多边形的一个基本量。
我们规定：一个正n边形（ n ≥ 4 {\displaystyle n\geq 4} ）的最短对角线与最长对角线的比值叫做这个正n边形的特征值，记作λ(n).
计算λ(6)的值：
作正六边形 A B C D E F {\displaystyle ABCDEF} ，显然， A E {\displaystyle AE} 为最短的对角线，而 A D {\displaystyle AD} 为最长的对角线.
所以λ(6)= AE AD {\displaystyle {\ce {{\frac {AE}{AD}}}}} .
∠ F E D = 180 ( 6 − 2 ) 6 = 120 ∘ {\displaystyle \angle FED={\frac {180(6-2)}{6}}=120^{\circ }}
因为 F E = E D {\displaystyle FE=ED}
所以 ∠ F A E = ∠ F E A = 180 − 120 2 = 30 ∘ {\displaystyle \angle FAE=\angle FEA={\frac {180-120}{2}}=30^{\circ }}
因为 ∠ F E D = 120 ∘ {\displaystyle \angle FED=120^{\circ }}
所以 ∠ A E F = 90 ∘ {\displaystyle \angle AEF=90^{\circ }}
显然， B C ∥ A D {\displaystyle BC\parallel AD}
又因为 ∠ A B D = ∠ F E D = 120 ∘ {\displaystyle \angle ABD=\angle FED=120^{\circ }}
所以 ∠ B A D = 180 − 120 = 60 ∘ {\displaystyle \angle BAD=180-120=60^{\circ }}
因此 ∠ E A D = 120 − 30 − 60 = 30 ∘ {\displaystyle \angle EAD=120-30-60=30^{\circ }}
又因为 ∠ A E D = 90 ∘ {\displaystyle \angle AED=90^{\circ }}
所以 A E A D = cos 60 ∘ = 3 2 {\displaystyle {\frac {AE}{AD}}=\cos 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}}
所以λ(6)= 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} .
）的最短对角线与最长对角线的比值叫做这个正n边形的特征值，记作λ(n).
，显然，
为最短的对角线，而
为最长的对角线.
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