三角函数

三角函数是一类重要的初等函数。

定义

我们常使用的三角函数有三类，它们分别是正弦，余弦和正切。它们都是在平面直角坐标系中定义的。 我们在一个以x轴为始边的角$\theta$（例如大小为$\frac{2}{3}\pi$）的终边上取一点$(x_0,y_0)$（如$(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$），假设它到原点的距离为$r$。 我们定义$\sin \theta =\frac{y_0}{r}$，$\cos \theta =\frac{x_0}{r}$，$\tan \theta =\frac{y_0}{x_0}$。此时，我们可以求出$\sin \frac{2}{3}\pi =\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos \frac{2}{3}\pi =\frac{1}{2}$，$\tan \frac{2}{3}\pi =\frac{\sqrt{3}}{3}$。

然而，我们看到这个方法不太方便。因此，我们选择使用单位圆进行处理。我们假设$\theta$的终边与单位圆的交点为$(x_0,y_0)$，那么$r=1$。因此，$\sin \theta =y_0$，$\cos \theta =x_0$，$\tan \theta =\frac{y_0}{x_0}$。这张图对这三个结论进行了演示。