平面向量

物理学中的速度，力，位移都是向量。

定义

向量是一类又有长度又有方向的量。而那些只有长度没有方向的量是标量。标量的典型例子是温度。然而，并不是所有的有方向的量都是向量，比如电流。向量表示为加粗的小写拉丁字母，在手写中，我们在小写拉丁字母上加箭头： ${\vec {a}}$ 。

我们现在来讨论平面向量。顾名思义，平面向量是在平面内的向量。在图中，A(1, 0)，B(2, 3)，我们可以将这个向量表示为 ${\vec {u}}$ 或 ${\overrightarrow {AB}}$ 。

向量具有起点和终点。在上面的例子中，A是起点，B是终点。我们假设 $M(x_{1},y_{1})$ ， $N(x_{2},y_{2})$ ，那么 ${\overrightarrow {MN}}$ 可以用有序数对的形式表示成 $(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})$ ，也可以用矩阵的形式表示成 ${\begin{bmatrix}x_{2}-x_{1}\\y_{2}-y_{1}\end{bmatrix}}$ 。

接下来，让我们先抛开平面直角坐标系。

一些重要定义

我们将向量的长度称为向量的模。向量 ${\vec {v}}$ 的模记为 $|{\vec {v}}|$ 。由勾股定理可以得到：对于向量 ${\vec {v}}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ 来说， $|{\vec {v}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ 。

我们之前说到，向量是有方向的。那么，如何来描述向量的方向相等呢？我们来看这张图。

我们看到，图片中的两向量平行。因此，我们称向量相等的两向量平行，称为平行向量。我们将图中的向量 ${\overrightarrow {EZ}}$ 平移，发现平移后向量可以和向量 ${\overrightarrow {OB}}$ 所在直线重合，因此，平行向量又称为共线向量。

如果一个向量经平移后可以与另一个向量重合，那么我们说这两个向量相等。也就是说，对于 ${\vec {v}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}$ 和 ${\vec {u}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{bmatrix}}$ ，若 $x_{1}=x_{2}$ 且 $y_{1}=y_{2}$ ，那么 ${\vec {u}}={\vec {v}}$ 。

有一类向量长度为零，称为零向量。零向量记为 ${\boldsymbol {0}}$ 。零向量的模为零，即 $|{\boldsymbol {0}}|=0$ ，而零向量的方向不确定。因此，我们说，零向量与任何向量共线，也与任何向量垂直。

运算

研究一个新的对象，而不研究它的运算是毫无意义的。

加法

让我们来考察一个点的位移。

在图中，假设在点 $A$ 处有一质点，该质点两次位移 ${\overrightarrow {AB}}$ ， ${\overrightarrow {BC}}$ 的结果与进行位移 ${\overrightarrow {AC}}$ 的结果相同。因此我们可以认为 ${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}$ 。