用户:CaffeineP/笔记/数字信号处理

此笔记由本人基于我的老师的幻灯片撰写。

第一章时域离散信号和时域离散系统

1.2.1 几种典型序列

1）单位抽样序列

$\forall n \in ℤ δ (n) := {\begin{matrix} 1 & n = 0 \\ 0 & n \neq 0 \end{matrix}, \forall m \in ℤ, n \in ℤ δ (n - m) = {\begin{matrix} 1 & n = m \\ 0 & n \neq m \end{matrix}$

2）单位阶跃序列

$\forall n \in ℤ u (n) := \sum_{k = 0}^{\infty} δ (n - k) = {\begin{matrix} 1 & n ⩾ 0 \\ 0 & n < 0 \end{matrix}, \forall m \in ℤ, n \in ℤ u (n - m) = \sum_{k = 0}^{\infty} δ (n - m - k) = \sum_{k = m}^{\infty} δ (n - k) = {\begin{matrix} 1 & n ⩾ m \\ 0 & n < m \end{matrix}$

$\forall n \in ℤ δ (n) = \sum_{k = 0}^{0} δ (n - k) = u (n) - u (n - 1), \forall m \in ℤ, n \in ℤ δ (n - m) = \sum_{k = m}^{m} δ (n - k) = u (n - m) - u (n - m - 1)$

3）矩形序列

$\forall N \in ℤ^{+}, n \in ℤ R_{N} (n) := \sum_{k = 0}^{N - 1} δ (n - k) = u (n) - u (n - N) = {\begin{matrix} 1 & 0 ⩽ n ⩽ N - 1 \\ 0 & n < 0 \lor n > N - 1 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \forall N \in ℤ^{+}, m \in ℤ, n \in ℤ R_{N} (n - m) & = \sum_{k = 0}^{N - 1} δ (n - m - k) = \sum_{k = m}^{m + N - 1} δ (n - k) = u (n - m) - u (n - m - N) \\ = {\begin{matrix} 1 & m ⩽ n ⩽ m + N - 1 \\ 0 & n < m \lor n > m + N - 1 \end{matrix} \end{matrix}$

8）任意序列：卷积和

$\forall x : ℤ \to ℝ, y : ℤ \to ℝ, n \in ℤ (x * y) (n) := \sum_{m = - \infty}^{\infty} x (m) y (n - m), \forall x : ℤ \to ℝ, n \in ℤ x (n) = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x (m) δ (n - m) = (x * δ) (n)$

（以上 $ℝ$ 可换成 $ℂ$ ，从此往后不再重复说明）

1.3 时域离散系统

#离散时间系统#

1.3.1 线性系统

$T [\cdot]$ 是线性系统 $: \Leftrightarrow T [\cdot]$ 是离散时间系统 $\land \forall a_{1} \in ℝ, a_{2} \in ℝ, x_{1} \in ℝ^{ℤ}, x_{2} \in ℝ^{ℤ} \forall n \in ℤ T [a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2}] (n) = a_{1} T [x_{1}] (n) + a_{2} T [x_{2}] (n)$

$\Leftrightarrow T [\cdot]$ 是离散时间系统 $\land \forall x_{1} \in ℝ^{ℤ}, x_{2} \in ℝ^{ℤ} \forall n \in ℤ T [x_{1} + x_{2}] (n) = T [x_{1}] (n) + T [x_{2}] (n) \land \forall a \in ℝ, x \in ℝ^{ℤ} \forall n \in ℤ T [a x] (n) = a T [x] (n)$

例1：判断系统是否线性

$\forall x \in ℝ^{ℤ} \forall n \in ℤ T [x] (n) := x (n) \sin (\frac{2 π}{9} n + \frac{π}{7})$

$t r u e \Leftrightarrow$

$\forall a_{1} \in ℝ, a_{2} \in ℝ, x_{1} \in ℝ^{ℤ}, x_{2} \in ℝ^{ℤ} \forall n \in ℤ T [a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2}] (n) = (a_{1} x_{1} (n) + a_{2} x_{2} (n)) \sin (\frac{2 π}{9} n + \frac{π}{7}) = a_{1} T [x_{1}] (n) + a_{2} T [x_{2}] (n)$

$\Rightarrow T [\cdot]$ 是线性系统

例2：证明系统非线性

$\forall x \in ℝ^{ℤ} \forall n \in ℤ T [x] (n) := a x (n) + b (a \in ℝ, b \in ℝ)$

$b \neq 0 \Rightarrow \forall x_{1} \in ℝ^{ℤ}, x_{2} \in ℝ^{ℤ} \forall n \in ℤ T [x_{1} + x_{2}] (n) - T [x_{1}] (n) - T [x_{2}] (n) = - b \neq 0 \Rightarrow T [\cdot]$ 是非线性系统

$b = 0 \Rightarrow \forall x_{1} \in ℝ^{ℤ}, x_{2} \in ℝ^{ℤ} \forall n \in ℤ T [x_{1} + x_{2}] (n) - T [x_{1}] (n) - T [x_{2}] (n) = - b = 0 \Rightarrow T [\cdot]$ 是线性系统

1.3.2 时不变系统

$T [\cdot]$ 是时不变系统（移不变系统） $: \Leftrightarrow T [\cdot]$ 是离散时间系统 $\land \forall x \in ℝ^{ℤ} \forall m \in ℤ \forall n \in ℤ T [⟨ x (k - m) ⟩_{k \in ℤ}] (n) = T [x] (n - m)$

例：判断系统是否时不变

$\forall x \in ℝ^{ℤ} \forall n \in ℤ T [x] (n) := x (n) \sin (\frac{2 π}{9} n + \frac{π}{7})$

$\forall x \in ℝ^{ℤ} \forall m \in ℤ \forall n \in ℤ T [⟨ x (k - m) ⟩_{k \in ℤ}] (n) - T [x] (n - m) = x (n - m) (\sin (\frac{2 π}{9} n + \frac{π}{7}) - \sin (\frac{2 π}{9} (n - m) + \frac{π}{7}))$

1.3.3 线性时不变（LSI）系统及其输入与输出之间的关系

$h := T [δ]$

$T [\cdot]$ 是 LSI 系统 $\Rightarrow$

$\forall x \in ℝ^{ℤ} \forall n \in ℤ T [x] (n) = T [{⟨ \sum_{m = - \infty}^{\infty} x (m) δ (k - m) ⟩}_{k \in ℤ}] (n) = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x (m) T [⟨ δ (k - m) ⟩_{k \in ℤ}] (n)$

$= \sum_{m = - \infty}^{\infty} x (m) T [δ] (n - m) = (x * T [δ]) (n) = (x * h) (n)$

卷积和与两序列的前后次序无关

$\forall x \in ℝ^{ℤ}, y \in ℝ^{ℤ} \forall n \in ℤ (x * y) (n) = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x (m) y (n - m) = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x (n - (n - m)) y (n - m) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} y (k) x (n - k) = (y * x) (n)$

第一章 时域离散信号和时域离散系统