使用者:CaffeineP/把推出關係寫成一串

$A\Rightarrow B$，且 $B\Rightarrow C$，故 $A\Rightarrow C$ 。這是蘊含關係（本文中稱推出關係）的傳遞性。

我個人是提倡效仿 $A<B<C$ 和 $A\subseteq B\subseteq C$ 的寫法，寫成 $A\Rightarrow B\Rightarrow C$ 這種形式的。

由於有些人不接受這種寫法，認為 $A\Rightarrow B\Rightarrow C$ 應解讀成 $A\Rightarrow \color {CadetBlue}({\color {black}B\Rightarrow C})$，所以我來論證這種寫法有哪些好處。

簡而言之，「把推出關係寫成一串」的寫法能用簡短的語言表達豐富的含義。

• $A\Rightarrow B\Rightarrow C$
  • 表示 $A\Rightarrow B$ 且 $B\Rightarrow C$，故 $A\Rightarrow C$ 。
• $A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}$
  • 表示 $A_{1}$ 經過一長串推理可推出 $A_{n}$ 。
• $A\Leftrightarrow B\Leftrightarrow C$
  • 表示 $A\Leftrightarrow B$ 且 $B\Leftrightarrow C$，故 $A\Leftrightarrow C$ 。
• $A_{1}\Leftrightarrow A_{2}\Leftrightarrow \cdots \Leftrightarrow A_{n}$
  • 表示從 $A_{1}$ 到 $A_{n}$ 的所有命題互相等價。
• ${\mathit {true}}\Leftrightarrow A\Rightarrow B$
  • 表示 $A$ 成立且 $A\Rightarrow B$，故 $B$ 成立。
• ${\mathit {true}}\Leftrightarrow A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}$
  • 表示從 $A_{1}$ 到 $A_{n}$ 的每個命題都成立。
• $A\Rightarrow B\Leftrightarrow {\mathit {false}}$
  • 表示 $A\Rightarrow B$ 且 $B$ 不成立，故 $A$ 不成立。
• $A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}\Leftrightarrow {\mathit {false}}$
  • 表示從 $A_{1}$ 到 $A_{n}$ 的每個命題都不成立。
• $A\Rightarrow \color {CadetBlue}({\color {black}B\Rightarrow C})$
  • 表示 $A\land B\Rightarrow C$ 。
• $A\Rightarrow \color {CadetBlue}({\color {black}B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}})$
  • 表示從 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每一步推導都可能用了 $A$ 作為前提條件。
• $A\Rightarrow \color {CadetBlue}({\color {black}{\mathit {true}}\Leftrightarrow B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}})$
  • 表示 $A$ 能推出從 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每個命題都成立。
• $A\Rightarrow \color {CadetBlue}({\color {black}B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}\Leftrightarrow {\mathit {false}}})$
  • 表示 $A$ 能推出從 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每個命題都不成立。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}A_{1}\Rightarrow A_{2}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}})$
  • 表示從 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每一步推導都可能用了 $A_{1}\Rightarrow A_{2}$ 作為前提條件。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}{A_{1}\Rightarrow A_{2}}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}{\mathit {true}}\Leftrightarrow B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}})$
  • 表示 $A_{1}\Rightarrow A_{2}$ 能推出從 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每個命題都成立。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}{A_{1}\Rightarrow A_{2}}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}\Leftrightarrow {\mathit {false}}})$
  • 表示 $A_{1}\Rightarrow A_{2}$ 能推出從 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每個命題都不成立。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}})$
  • 表示 $A_{1}$ 經過一長串推理可推出 $A_{n}$ ，以此為前提條件，從 $B_{1}$ 出發經過一長串推理可推出 $B_{n}$ 。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}{\mathit {true}}\Leftrightarrow B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}})$
  • 表示 $A_{1}$ 經過一長串推理可推出 $A_{n}$ ，以此為前提條件能推出從 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每個命題都成立。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}\Leftrightarrow {\mathit {false}}})$
  • 表示 $A_{1}$ 經過一長串推理可推出 $A_{n}$ ，以此為前提條件能推出從 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每個命題都不成立。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}{\mathit {true}}\Leftrightarrow A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}})$
  • 表示從 $A_{1}$ 到 $A_{n}$ 的每個命題都成立，以此為前提條件，從 $B_{1}$ 出發經過一長串推理可推出 $B_{n}$ 。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}{\mathit {true}}\Leftrightarrow A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}{\mathit {true}}\Leftrightarrow B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}})$
  • 表示從 $A_{1}$ 到 $A_{n}$ 的每個命題都成立，以此為前提條件能推出從 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每個命題都成立。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}{\mathit {true}}\Leftrightarrow A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}\Leftrightarrow {\mathit {false}}})$
  • 表示從 $A_{1}$ 到 $A_{n}$ 的每個命題都成立，以此為前提條件能推出從 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每個命題都不成立。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}\Leftrightarrow {\mathit {false}}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}})$
  • 表示從 $A_{1}$ 到 $A_{n}$ 的每個命題都不成立，以此為前提條件，從 $B_{1}$ 出發經過一長串推理可推出 $B_{n}$ 。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}\Leftrightarrow {\mathit {false}}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}{\mathit {true}}\Leftrightarrow B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}})$
  • 表示從 $A_{1}$ 到 $A_{n}$ 的每個命題都不成立，以此為前提條件能推出從 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每個命題都成立。
• $\color {CadetBlue}({\color {black}A_{1}\Rightarrow A_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow A_{n}\Leftrightarrow {\mathit {false}}})\,{\color {black}\Rightarrow }\,({\color {black}B_{1}\Rightarrow B_{2}\Rightarrow \cdots \Rightarrow B_{n}\Leftrightarrow {\mathit {false}}})$
  • 表示從 $A_{1}$ 到 $A_{n}$ 的每個命題都不成立，以此為前提條件能推出從 $B_{1}$ 到 $B_{n}$ 的每個命題都不成立。
• $A_{1}\Rightarrow \cdots \Rightarrow \color {CadetBlue}({\color {black}{\mathit {true}}\Leftrightarrow B_{1}\Rightarrow \cdots \Rightarrow }\,({\color {black}{\mathit {true}}\Leftrightarrow C_{1}\Rightarrow \cdots C_{n}}))$
  • 表示在推理的過程中反覆將得出的結論補充進前提條件中。