中頂多邊形

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名詞定義[编辑 | 编辑源代码]

中頂多邊形[编辑 | 编辑源代码]

    畫出一多邊形的各邊中點,以各邊中點
    為圓心,中點到該邊頂點的距離為半徑
    畫圓。取兩鄰邊所作之圓的交點為一頂
    點,將各頂點依序連線,且為凸多邊形,
    即為中頂多邊形。如圖一的五邊形
    A_1 B_1 C_1 D_1 E_1。

中頂對應角、原圖對應角[编辑 | 编辑源代码]

    如圖二,△ABC為原三角形,
    △A_1 B_1 C_1為中頂三角形,則∠A的中頂
    對應角為該點做垂直線於對邊的那  
    個角,即∠A_1。∠B的中頂對應角為∠B_1
          ,∠C的中頂對應角則為∠C_1。
    反之,∠A_1的原圖對應角為∠A。



切分三角形[编辑 | 编辑源代码]

    如圖三,△ABC為原三角形,△A_1 B_1 C_1為中頂三角形,則
    △AB_1 C_1、△A_1 B_1 C、 △A_1 BC_1為切分三角形。
=== 疊作中頂三角形 ===
    如圖,△A_1 B_1 C_1為△ABC的第一層中頂三角形。
    以△A_1 B_1 C_1為原三角形,作一中頂三角形
    △A_2 B_2 C_2為△ABC的第二層中頂三角形,
    以此類推。此步驟為疊作中頂三角形。

性質[编辑 | 编辑源代码]

中頂三角形的頂點在原圖形的邊上[编辑 | 编辑源代码]

    已知:△ABC為原三角形,△A_1 B_1 C_1為△ABC的中頂三角形。
    求證:A_1 、B_1 、C_1 分別在(BC) ̅、(AC) ̅、(AB) ̅上。
    證明:
    ∵A、B、B_1 三點共圓
    ⟹∠ABB_1 對半圓
    ∴∠AB_1 B=90°
    又∵B、B_1 、C三點共圓
      ⟹∠BB_1 C對半圓
      ∴∠BB_1 C=90°
      ⟹∠AB_1 B+∠BB_1 C=180°(平角),得B_1 在(AC) ̅上。
    同理可證,A_1 在(BC) ̅上,C_1 在(AB) ̅上,得證。
    且中頂三角形的三頂點為原三角形三邊上的垂足。

中頂三角形任一角的原圖對應角=(180°-中頂對應角)/2[编辑 | 编辑源代码]

    已知:△ABC為原三角形,△A_1 B_1 C_1為△ABC的中頂三角形。
    求證:∠C_1 A_1 B=∠B_1 A_1 C=∠CAB。
    證明:
    ∵A、C、A_1 、C_1 四點共圓
    ∴∠CAC_1+∠C_1 A_1 C=180°
     (原內接四邊形對角互補)
    又∠C_1 A_1 B+∠C_1 A_1 C=180°
    得∠CAC_1=∠C_1 A_1 B=∠CAB
    同理,∠B_1 AB=∠B_1 A_1 C=∠CAB
    ⟹∠C_1 A_1 B=∠B_1 A_1 C=∠CAB,得證。

原三角形的垂心和中頂三角形的內心共點[编辑 | 编辑源代码]

    已知:△ABC為原三角形,△A_1 B_1 C_1為△ABC的中頂三角形。直線(AA_1 ) ⃡、
           (BB_1 ) ⃡、(CC_1 ) ⃡為(BC) ̅、(AC) ̅、(AB) ̅上的高。I為△ABC的垂心,E為△A_1 B_1 C_1內心。
    求證:I=E
    證明:
    ∠AA_1 B=∠AA_1 C=90°
    ⟹∠AA_1 B=∠C_1 A_1 B+∠AA_1 C_1
       ∠AA_1 C=∠B_1 A_1 C+∠AA_1 B_1
    且∠C_1 A_1 B=∠B_1 A_1 C
    得∠AA_1 C_1=∠AA_1 B_1,即(AA_1 ) ⃡平分∠C_1 A_1 B_1。
    同理可證(BB_1 ) ⃡平分∠C_1 B_1 A_1,(CC_1 ) ⃡平分∠A_1 C_1 B_1。
    ⟹△ABC的高為△A_1 B_1 C_1的角平分線。
    即I=E,得證。
=== 中頂四邊形和原圖形相似 === 

求證中頂四邊形的邊長和原圖形成比例

已知:四邊形ABCD為原四邊形,四邊形A_1 B_1 C_1 D_1為中頂四邊形;C_0 、D_0

    分別為(BC) ̅、(CD) ̅的中點。

求證:(C_1 D_1 ) ̅/(CD) ̅ =(B_1 C_1 ) ̅/(BC) ̅ ,即各邊邊長比相同。 證明:

    ∠C_1 C_0 B_1=180°-∠BC_0 C_1-∠B_1 C_0 C
      =180°-(180°-2∠C_1 BC)-(180°-2∠BCC_1)
      =180°-180°+2∠C_1 BC-180°+2∠BCC_1
      =2∠C_1 BC+2∠BCC_1-180°
    ∠D_1 D_0 C_1=180°-∠D_1 D_0 D-∠C_1 D_0 D
      =180°-(180°-2∠D_1 DD_0 )-(180°-2∠C_1 CD_0)
      =180°-180°+2∠D_1 DD_0-180°+2∠C_1 CD_0
      =2∠D_1 DD_0+2∠C_1 CD_0-180°
    ∵∠AD_1 D=∠BC_1 C=90°
     ⟹∠OD_1 I=∠OC_1 I=90°
     ⟹∠AIB=360°-∠OD_1 I-∠OC_1 I-∠D_1 OC_1
         =180°-∠D_1 OC_1
         =180°-(180°-∠D_1 DD_0-∠C_1 CD_0)
         =∠D_1 DD_0+∠C_1 CD_0
         =(∠D_1 D_0 C_1)/2+90°
    ∴∠C_1 IB_1=180°-∠C_1 BC-∠BCC_1
       =90°-(∠C_1 C_0 B_1)/2
    ∵∠C_1 IB_1=180°-∠AIB
     ⟹∠C_1 IB_1=180°-((∠D_1 D_0 C_1)/2+90)
         =90°-(∠C_1 C_0 B_1)/2
     ⟹(∠D_1 D_0 C_1)/2=(∠C_1 C_0 B_1)/2
    ∴∠D_1 D_0 C_1=∠C_1 C_0 B_1
    又∵∠D_1 D_0 C_1=∠C_1 C_0 B_1
      ∴每對臨邊的圓心角相等,得四邊圓心角相等

如圖,(A_1 D_1 ) ̅是以(AD) ̅為直徑的圓上一弦,A_0是(AD) ̅中點,延長(A_0 D_1 ) ̅交圓於O
並延長(A_1 O) ̅。
∠D_1 A_1 O對半圓,得∠D_1 A_1 O=90°
⟹(A_1 D_1 ) ̅=(D_1 O) ̅×sin⁡〖(∠D_1 OA_1)〗
∵∠D_1 OA_1=1/2∠D_1 A_0 A_1,(D_1 O) ̅=(AD) ̅
∴(A_1 D_1 ) ̅=(AD) ̅×sin⁡〖((∠D_1 A_0 A_1)/2)〗
此即為弦長公式:弦長=2r×sin⁡(θ/2)
(其中r為圓的半徑,θ為圓心角,同上圖的∠D_1 A_0 A_1)
    又∵中頂四邊形的各邊邊長皆是圓的弦
     ⟹各邊邊長=2r×sin⁡〖(θ/2)〗
     ∴中頂四邊形和原圖形的邊長比值=(2r×sin⁡〖(θ/2)〗)/2r
                                  =sin⁡〖(θ/2)〗。
    ⟹中頂四邊形的四邊長和原四邊形的四邊長的比例相同

=== 求證中頂四邊形的對角線和原圖形成比例 ===


    已知:四邊形ABCD為原四邊形,A_1 、B_1 、D_1為中頂四邊形頂點;F為中
        頂四邊形對角線交點。
    求證:  ((B_1 F) ̅+(FD_1 ) ̅)/((DF) ̅+(FB) ̅ )=邊長比
    證明:
    ∵(BB_1 ) ̅⊥(AC) ̅且(DD_1 ) ̅⊥(AC) ̅
      ∠B_1 FB=∠DFD_1
    ∴t1和t2相似
    ⟹∠B_1 BF=∠FDD_1
    ⟹對角線比值=((B_1 F) ̅+(FD_1 ) ̅)/((DF) ̅+(FB) ̅ )
                =((FB) ̅∙sin(∠B_1 BF)+(DF) ̅∙sin(∠B_1 BF))/(BD) ̅ 
                =((BD) ̅∙sin(∠B_1 BF))/(BD) ̅ 
                =sin(∠B_1 BF)
    又∵B,C, B_1, A_1共圓
    ⟹∠B_1 IA_1=2∠B_1 BF
    ⟹∠B_1 BF=(∠B_1 IA_1)/2
    ∴對角線比值=sin⁡〖(∠B_1 BF)〗
                 =sin((∠B_1 IA_1)/2)=邊長比   (弦長公式)
     ⟹中頂四邊形的對角線會和原圖形成比例。
 由1、2,中頂四邊形和原圖形相似,得證。

第n層和第n+1層中頂三角形的角度的關係[编辑 | 编辑源代码]

    證明:
    1.若角A為銳角三角形的一內角
   已知:△ABC是原三角形,△A_1 B_1 C_1是中頂三角形。
   求證:∠C_1 A_1 B_1=180°-2∠CAB。
      如圖,A_1,B_1,C_1為三邊垂足
      ∵∠CAB=∠C_1 A_1 B=∠B_1 A_1 C(前面證明過)
      ∴∠C_1 FB_1=180°-∠C_1 A_1 B-∠B_1 A_1 C
             =180°-2∠CAB
      ⟹得證。
    2.若角A為鈍角三角形的銳角
已知:△ABC是原三角形,△A_1 B_1 C_1是
中頂三角形。A_1為(BC) ̅上垂足,C_1、B_1
    則分別為(AB) ̅、(AC) ̅延長線上垂足。
求證:∠A_1 C_1 E=2∠ACB。
證明:
取G為(AB) ̅、(AC) ̅延長線的交點。
     ∠C_1 AB_1=∠CAB,
     ∠B_1 AB=180°-∠CAB
     ∠B_1 BA=90°-(180°-∠CAB)
          =∠CAB-90°
     ⟹∠B_1 BC=(∠CAB-90°)+∠ABC
     ∵∠CC_1 A_1=∠GC_1 B_1=∠GBC(前面證明過)
       且∠GBC=∠B_1 BC
     ∴∠A_1 FB_1=180°-2∠B_1 BC
            =180°-2[(∠CAB-90°)+∠ABC]
            =180°-2[(180°-∠ACB)-90°]
            =180°-180°+2∠ACB
            =2∠ACB
     ⟹得證。
    3.若角A為鈍角三角形的鈍角
已知:△ABC是原三角形,△A_1 B_1 C_1是中頂三角形。A_1為(BC) ̅上垂足,C_1、
B_1則分別為(AB) ̅、(AC) ̅延長線上垂足。 
求證:∠C_1 DB_1=2∠CAB-180°。
證明:
取G為(AB) ̅、(AC) ̅延長線的交點。
     ∠C_1 AB_1=∠CAB,
     ∵∠AC_1 G=∠AB_1 G=90°
     ∴∠C_1 GB_1=180°-∠CAB
     又∵∠C_1 A_1 C=∠B_1 A_1 B=∠C_1 GB_1 (前面證明過)
       ∴∠C_1 A_1 B_1=180°-2∠C_1 GB_1
              =180°-2(180°-∠CAB)
              =2∠CAB-180°
     ⟹得證。

中頂多邊形的新畫法[编辑 | 编辑源代码]

      1做多邊形的對角線(圖中的紫色直線)。
      2分別將四個頂點做垂足到對角線上。
      3連線即為中頂多邊形。
      證明:

    已知:以D做垂足到(AC) ⃡得I,D_1為中頂多邊形頂點。
    求證: D_1=I。
    證明:
    ∵A,I,D三點共圓,∠AID對直徑(AD) ̅
    ∴∠AID=90°,∠DIC亦然。
    ⟹A,I,C共線。
    ⟹D_1=I

由中頂三角形逆推原三角形的作圖[编辑 | 编辑源代码]

    設有一△ABC為中頂三角形,
    試求原三角形。
    1.求銳角原三角形
     ①分別作∠A、∠B、∠C的角平分線。
     ②作過三頂點且垂直於三角平分線的
       直線。
     ③取三直線和三角平分線的交點連線,△A'B'C'即
       原三角形。
     
    2.求鈍角原三角形
     ①分別作∠A、∠B、∠C的角平分線。
     ②選定任一頂點,作一條過該頂點且和
       該角平分線垂直的直線L。
     ③取角平分線交點和角平分線與L的
       交點連線。△A'B'C'即為原三角形。
   
    *因為步驟②可以任選一頂點,所以鈍角原三角形有三種可能。
    證明(銳角):
    
    證明(鈍角):
     
    如圖,
    1.作(AC) ⃡、(BD) ⃡。
    2.作分別過A、B、C、D且⊥(AC) ⃡、(BD) ⃡的四條直線
      L、M、N、O。
 
    證明:

=== 由中頂四邊形逆推原圖形的作圖 ===

    設有一四邊形ABCD為中頂四邊形,
    試求原四邊形。
    3.取L、N和(BD) ⃡的交點及M、O和(AC) ⃡的交點連線。四邊形A’B’C’D’即原四邊
     形。

中頂多邊形的頂點在原圖形之對角線上[编辑 | 编辑源代码]

    四邊形推導:如圖,D_1在原圖形對角線(AC) ̅上。只要將他看成一個三角形(如
    圖中的三角形△ACD),就符合之前證明過的性質。

    五邊形推導:如圖,點E_1在原圖形的對角線(AD) ̅上。只要將它看成一個三角
    形(如圖中的藍色三角形△ADE),就符合之前證明過的性質。
    依照四、五邊形的推導,可以得知在n邊形的情況下,中頂多邊形的頂點
    在原圖形之對角線上。

中頂三角形頂點和原圖形的中點共圓[编辑 | 编辑源代码]

    已知: A、B、C為原三角形三邊中點且D、E、F為中頂三角形頂點。
    求證:A、B、C、D、E、F共圓。
    證明:
    依九點圓定理:
    在平面幾何中,對任何三角形,九點圓通過三角形三邊的中點、三高的垂       
    足、和頂點到垂心的三條線段的中點。
    之前已提過中頂三角形頂點為原三角形的三邊垂足,則該六點必定共圓。

三個切分三角形相似[编辑 | 编辑源代码]

    已知:△ABC為原三角形,△A_1 B_1 C_1是中頂三角形。
    求證:△AB_1 C_1~△A_1 BC_1~△A_1 B_1 C。
    證明:
    由前面所證之性質:

1.∠CAB=∠B_1 A_1 C=∠CA_1 B

    2.∠ACB=∠AC_1 B_1=∠A_1 C_1 B
    3.∠ABC=∠AB_1 C_1=∠CB_1 A_1
    圖中各顏色的角對應相等,
    ⟹△AEF~△CDE~△BDF,得證。

圓內接四邊形以對角線切割,對位的三角形相似[编辑 | 编辑源代码]

    已知:A_1為A在(BC) ̅上的垂足,B_1為B在(AC) ̅上的垂足,C_1 亦然;I為兩垂線
        交點。
    求證: △AIB~△B_1 IA_1,△AIB_1~BIA_1。
    證明:
    ∵A、B_1 、A_1 、B四點共圓
    ∴∠BB_1 A_1=∠BAA_1,∠A_1 AB_1=∠A_1 BB_1(對同弧)
      ∠B_1 A_1 A=∠B_1 BA,∠AB_1 B=∠AA_1 B(對同弧)
    又∠AIB=∠B_1 IA_1,∠AIB_1=∠BIA_1(對頂角)
    ⟹△AIB~△B_1 IA_1,△AIB_1~BIA_1,得證。

中頂三角形和原圖形的面積比[编辑 | 编辑源代码]

    1.銳角三角形
     如圖,計算中頂三角形面積的方式為原三角形減掉三個切分三角形面積。
     其中t2為中頂三角形,t1為原三角形;t3、t4、t5則為切分三角形。
       
     中頂三角形t2=t1-t3-t4-t5
     (A_1 B) ̅=(AB) ̅∙cos⁡〖∠B〗,(BC_1 ) ̅=(BC) ̅∙cos⁡〖∠B〗
     做(C_1 C_2 ) ̅⊥(A_1 B) ̅交(A_1 B) ̅於C_2,則(C_1 C_2 ) ̅=(BC_1 ) ̅∙sin⁡〖∠B〗=(BC) ̅∙cos⁡〖∠B〗∙sin⁡〖∠B〗
     ⟹t3=(A_1 B) ̅∙(C_1 C_2 ) ̅/2=(BC) ̅∙〖cos⁡〖∠B〗〗^2∙sin⁡〖∠B〗∙(AB) ̅/2
     如圖,(AB_1 ) ̅=(AB) ̅∙cos⁡〖∠A〗,
           (AC_1 ) ̅=(AC) ̅∙cos⁡〖∠A〗
     做(B_1 B_2 ) ̅⊥(AC_1 ) ̅交(AC_1 ) ̅於B_2,則
     (B_1 B_2 ) ̅=(AB_1 ) ̅∙sin⁡〖∠A〗=(AB) ̅∙cos⁡〖∠A〗∙sin⁡〖∠A〗
     ⟹t4=(AC_1 ) ̅∙(B_1 B_2 ) ̅/2
          =(AB) ̅∙〖cos⁡〖∠A〗〗^2∙sin⁡〖∠A〗∙(AC) ̅/2
     如圖,(B_1 C) ̅=(BC) ̅∙cos⁡〖∠C〗,(A_1 C) ̅=(AC) ̅∙cos⁡〖∠C〗
     做(A_1 A_2 ) ̅⊥(B_1 C) ̅交(B_1 C) ̅於A_2,則
     (A_1 A_2 ) ̅=(A_1 C) ̅∙sin⁡〖∠C〗=(AC) ̅∙cos⁡〖∠C〗∙sin⁡〖∠C〗
     ⟹t5=(B_1 C) ̅∙(A_1 A_2 ) ̅/2=(BC) ̅∙〖cos⁡〖∠C〗〗^2∙sin⁡〖∠C〗∙(AC) ̅/2
     又t1=(BC) ̅∙(AC) ̅∙sin⁡〖∠C〗/2=(BC) ̅∙(AB) ̅∙sin⁡〖∠B〗/2=(AC) ̅∙(AB) ̅∙sin⁡〖∠A〗/2
      ⟹t3/t1=〖cos⁡〖∠B〗〗^2,t4/t1=〖cos⁡〖∠A〗〗^2
      t5/t1=〖cos⁡〖∠C〗〗^2
      t2=t1-t3-t4-t5
       ⟹t2/t1=1-〖cos⁡〖∠B〗〗^2-〖cos⁡〖∠A〗〗^2-〖cos⁡〖∠C〗〗^2
       ⟹t1:t2
          =1:(1-〖cos⁡〖∠A〗〗^2-〖cos⁡〖∠B〗〗^2-〖cos⁡〖∠C〗〗^2)
      此即為銳角中頂三角形和原圖形面積比。
    2.鈍角三角形

     如圖,△ABC為原三角形,△A_1 B_1 C_1為中頂三角形。O為△ABC之垂心。
     (△ABC)/(△OBC)=(((BC) ̅×sin⁡〖(∠ACB)〗×sin⁡〖(∠CBO)〗)/(2×sin⁡〖(∠ACB+∠CBA)〗 ))/(((BC) ̅×sin⁡〖(∠C_1 CB)〗×sin⁡〖(∠CBO)〗)/(2×sin⁡〖(∠ACB+∠C_1 CB)〗 ))
          =(((BC) ̅×sin⁡〖(∠ACB)〗×sin⁡〖(∠CBO)〗)/sin⁡〖(∠ACB+∠CBA)〗 )/(((BC) ̅×sin⁡〖(∠C_1 CB)〗×sin⁡〖(∠CBO)〗)/sin⁡〖(∠ACB+∠C_1 CB)〗 )
          =((sin⁡〖(∠ACB)〗×sin⁡〖(∠CBO)〗)/sin⁡〖(∠ACB+∠CBA)〗 )/((sin⁡〖(∠ACB+90°-∠CAC_1)〗×sin⁡〖(∠CBA+90°-∠CAC_1)〗)/sin⁡〖(∠ACB+90°-∠CAC_1+∠CBA+90°-∠CAC_1)〗 )
          =((sin⁡〖(∠ACB)〗×sin⁡〖(∠CBO)〗)/sin⁡〖(∠ACB+∠CBA)〗 )/(sin⁡〖(∠ACB+90°-(180°-∠CAB))×sin⁡〖(∠CBA+90°-(180°-∠)CAB)〗 〗/sin⁡〖(180°+∠ACB+∠CBA-2×(180°-∠CAB)〗 )
          =((sin⁡〖(∠ACB)〗×sin⁡〖(∠CBO)〗)/sin⁡〖(∠ACB+∠CBA)〗 )/(sin⁡〖(∠ACB+∠CAB-90°)×sin⁡〖(∠CBA+∠CAB-90°)〗 〗/sin⁡〖(∠CAB)〗 )
          =((sin⁡〖(∠ACB)〗×sin⁡〖(∠CBO)〗)/sin⁡〖(∠ACB+∠CBA)〗 )/((cos⁡〖(∠CBA)〗×cos⁡〖(∠ACB)〗)/sin⁡〖(∠CAB)〗 )…①
     由銳角中頂三角形面積比,
     (△A_1 B_1 C_1)/(△OBC)=1-〖cos⁡〖(∠ACB)〗〗^2-〖cos⁡〖(∠CBO)〗〗^2-〖cos⁡〖(∠BOC)〗〗^2
             =1-〖sin⁡〖(∠CBA)〗〗^2-〖sin⁡〖(∠ACB)〗〗^2-〖cos⁡〖(180°-∠CAB)〗〗^2
             =1-〖sin⁡〖(∠CBA)〗〗^2-〖sin⁡〖(∠ACB)〗〗^2-〖sin⁡〖(∠CAB-90°)〗〗^2
             =((cos⁡〖(∠CBA)〗×cos⁡〖(∠ACB)〗)/sin⁡〖(∠CAB)×[1-〖sin⁡〖(∠CBA)〗〗^2-〖sin⁡〖(∠ACB)〗〗^2-〖sin⁡〖(∠CAB-90°)〗〗^2]〗 )/((cos⁡〖(∠CBA)〗×cos⁡〖(∠ACB)〗)/sin⁡〖(∠CAB)〗 )…②
 ①/②=(△ABC)/(△A_1 B_1 C_1 )=((sin⁡〖(∠ACB)〗×sin⁡〖(∠CBO)〗)/sin⁡〖(∠ACB+∠CBA)〗 )/((cos⁡〖(∠CBA)〗×cos⁡〖(∠ACB)〗)/sin⁡〖(∠CAB)〗 )÷                                            ((cos⁡〖(∠CBA)〗×cos⁡〖(∠ACB)〗)/sin⁡〖(∠CAB)×[1-〖sin⁡〖(∠CBA)〗〗^2-〖sin⁡〖(∠ACB)〗〗^2-〖sin⁡〖(∠CAB-90°)〗〗^2]〗 )/((cos⁡〖(∠CBA)〗×cos⁡〖(∠ACB)〗)/sin⁡〖(∠CAB)〗 )
            =((sin⁡〖(∠ACB)〗×sin⁡〖(∠CBO)〗)/sin⁡〖(∠ACB+∠CBA)〗 )/((cos⁡〖(∠CBA)〗×cos⁡〖(∠ACB)〗)/sin⁡〖(∠CAB)×[1-〖sin⁡〖(∠CBA)〗〗^2-〖sin⁡〖(∠ACB)〗〗^2-〖sin⁡〖(∠CAB-90°)〗〗^2]〗 )
     ⟹△ABC:△A_1 B_1 C_1
     =(sin⁡〖(∠ACB)〗×sin⁡〖(∠CBO)〗)/sin⁡〖(∠ACB+∠CBA)〗 ∶(cos⁡〖(∠CBA)〗×cos⁡〖(∠ACB)〗)/sin⁡〖(∠CAB)×[1-〖sin⁡〖(∠CBA)〗〗^2-〖sin⁡〖(∠ACB)〗〗^2-〖sin⁡〖(∠CAB-90°)〗〗^2]〗 
     此為鈍角中頂三角形和原圖形的面積比。

中頂三角形(僅限銳角)之最短周長性質[编辑 | 编辑源代码]

    已知:△ABC為原三角形,△A_1 B_1 C_1是中頂三角形,△A_1 PQ為△ABC的最
         短周長內接三角形。(AA_1 ) ⃡、(BB_1 ) ⃡、(CC_1 ) ⃡為三邊上高。
    求證: △A_1 B_1 C_1=△A_1 PQ
    證明:
    將(A_1 P) ̅、(A_1 Q) ̅分別由(AB) ̅、(AC) ̅做線對稱,為(MP) ̅、(NQ) ̅,連接(MN) ̅。
    A、C_1 、O、B_1 四點共圓
    則∠AC_1 B_1=∠AOB_1(對同弧)
    又∵∠BC_1 O=∠BA_1 O=90°
    B、C_1 、O、A_1 四點共圓
    則∠BC_1 A_1=∠BOA_1(對同弧)
    ∵∠AOB_1=∠BOA_1 (對頂角)
    ∴∠AC_1 B_1=∠BC_1 A_1
   又∵∠BC_1 A_1=∠BC_1 M(對稱,兩角相等)
     ∴∠AC_1 B_1=∠BC_1 M
   形成對頂角,可得M、C_1、F三點共線
    ∵∠AOC_1=∠COA_1 (對頂)
    ∴∠AB_1 C_1=∠CB_1 A_1
   又∵∠CB_1 A_1=∠CB_1 N(對稱,兩角相等)
     ∴∠AB_1 C_1=∠CB_1 N
   形成對頂角,可得C_1、B_1、N三點共線
    ⟹M、C_1 、B_1 、N四點共線
   則C_1為(AB) ̅、(MN) ̅交點,B_1為(AC) ̅、(MN) ̅交點
    ⟹C_1=P,B_1=Q
   即△A_1 B_1 C_1為△ABC的最小周長內接三角形。

中頂多邊形和原圖形之邊長比[编辑 | 编辑源代码]

    1.四邊形推導
     ①基本推導(非推移邊)
       定義推移邊:
       如右圖,畫出中頂四邊形後會互換
       位置的兩邊(A_1 B_1 ) ̅、(C_1 D_1 ) ̅為推移邊。
       如圖,四邊形ABCD為原四邊形,四邊形A_1 B_1 C_1 D_1為中頂四邊形;A_0 為
       (AD) ̅中點,(AC) ⃡、(BD) ⃡為原四邊形對角線。(A_1 D_1 ) ̅是圓上一弦,其長度可用
       弦長公式表示為:
       (A_1 D_1 ) ̅=(AD) ̅×sin⁡〖((∠D_1 A_0 A_1)/2)〗

邊長比即為:

       (A_1 D_1 ) ̅/(AD) ̅ =((AD) ̅×sin⁡〖((∠D_1 A_0 A_1)/2)〗)/(AD) ̅ 
           =sin⁡〖((∠D_1 A_0 A_1)/2)〗
       ⟹(AD) ̅∶(A_1 D_1 ) ̅=1∶sin⁡〖((∠D_1 A_0 A_1)/2)〗
       此為原圖形和中頂四邊形的邊長比。
       前面證明過中頂四邊形各邊圓心角皆相同,因此原四邊形各邊和中頂四
       邊形的邊長比相同。

     ②原圖形和中頂四邊形的邊長比與對角線夾角的關係
       如圖,四邊形ABCD為原四邊形,四邊形A_1 B_1 C_1 D_1為中頂四邊形;A_0 為
       (AD) ̅中點,(AC) ⃡、(BD) ⃡為原四邊形對角線,取(AC) ⃡、(BD) ⃡交點I。
       ∠D_1 A_0 A_1=180°-∠D_1 A_0 A-∠A_1 A_0 D
       ∵∠A_0 AD_1=∠A_0 D_1 A
         ∠A_0 DA_1=∠A_0 A_1 D
       ∴∠D_1 A_0 A=180°-2∠A_0 AD_1
         ∠A_1 A_0 D=180°-2∠A_0 DA_1
       ⟹∠D_1 A_0 A_1=180°-∠D_1 A_0 A-∠A_1 A_0 D
                  =180°-(180°-2∠A_0 AD_1)-(180°-2∠A_0 DA_1)
                  =2∠A_0 AD_1+2∠A_0 DA_1-180°
                  =2(∠A_0 AD_1+∠A_0 DA_1)-180°
                  =2(180°-∠AID)-180°
                  =360°-2∠AID-180°
                  =-2∠AID+180°
       得原先的比例為(A_1 D_1 ) ̅/(AD) ̅ =sin⁡〖((-2∠AID+180°)/2)〗
                         =sin⁡〖(90°-∠AID)〗
       ⟹(AD) ̅∶(A_1 D_1 ) ̅=1∶sin⁡〖(90°-∠AID)〗
       另一邊的推法相同,即原圖形和中頂四邊形的邊長比為
       原圖形邊長∶中頂四邊形邊長(非推移邊)=1∶sin⁡〖(90°-對角線夾角)〗
     ③推移邊推導

       如圖,四邊形ABCD為原四邊形,四邊形A_1 B_1 C_1 D_1為中頂四邊形;D_0 為
       (CD) ̅中點,(AC) ⃡、(BD) ⃡為原四邊形對角線,I為兩對角線(AC) ⃡、(BD) ⃡交點,E為
       兩垂線(CC_1 ) ⃡、(DD_1 ) ⃡交點。
       基本推導部分和非推移邊相等,即
       (CD) ̅∶(C_1 D_1 ) ̅=1∶sin⁡〖((∠C_1 D_0 D_1)/2)〗
       原圖形和中頂四邊形的推移邊邊長比與對角線夾角的關係推導為
       ∠C_1 D_0 D_1=180°-∠D_1 D_0 D-∠C_1 D_0 C
       ∵∠D_0 DD_1=∠D_0 D_1 D(等腰)
         ∠D_0 CC_1=∠D_0 C_1 C(等腰)
       ∴∠D_1 D_0 D=180°-2∠D_0 DD_1
         ∠C_1 D_0 C=180°-2∠D_0 CC_1
       ⟹∠D_1 D_0 C_1=180°-∠D_1 D_0 D-∠C_1 D_0 C
                  =180°-(180°-2∠D_0 DD_1)-(180°-2∠D_0 CC_1)
                  =2∠D_0 DD_1+2∠D_0 CC_1-180°
                  =2(∠D_0 DD_1+∠D_0 CC_1)-180°
                  =2(180°-∠DEC) -180°
                  =-2∠DEC+180°
                  =-2(180°-∠D_1 IC_1 )+180°
       ∵∠D_1 IC_1=∠DIC(對頂角)
       ∴∠D_1 D_0 C_1=-2(180°-∠D_1 IC_1 )+180°
                 =-2(180°-∠DIC)+180°
                 =2∠DIC-180°
       得原先的比例為(D_1 C_1 ) ̅/(DC) ̅ =sin⁡〖((2∠DIC-180°)/2)〗
                         =sin⁡〖(∠DIC-90°)〗
       ⟹(DC) ̅∶(D_1 C_1 ) ̅=1∶sin⁡〖(∠DIC-90°)〗
       另一邊的推法相同,即原圖形和中頂四邊形的邊長比為
       原圖形邊長∶中頂四邊形邊長(推移邊)=1∶sin⁡〖(對角線夾角-90°)〗
    2.五邊形推導
     ①基本推導
       如圖,五邊形ABCDE為原五邊形,五邊形A_1 B_1 C_1 D_1 E_1為中頂五邊形;
       A_0 為(AE) ̅中點,(AD) ⃡、(BE) ⃡為原五邊形對角線。(A_1 E_1 ) ̅是圓上一弦,其長度
       可用弦長公式表示為:
      (A_1 E_1 ) ̅=(AE) ̅×sin⁡〖((∠A_1 A_0 E_1)/2)〗
      邊長比即為:
      (A_1 E_1 ) ̅/(AE) ̅ =((AE) ̅×sin⁡〖((∠A_1 A_0 E_1)/2)〗)/(AE) ̅ 
        =sin⁡〖((∠A_1 A_0 E_1)/2)〗
        ⟹(AE) ̅∶(A_1 E_1 ) ̅=1∶sin⁡〖((∠A_1 A_0 E_1)/2)〗
      此為原圖形和中頂五邊形的邊長比。

     ②原圖形和中頂五邊形的邊長比與對角線夾角的關係
       如圖,五邊形ABCDE為原五邊形,五邊形A_1 B_1 C_1 D_1 E_1為中頂五邊形;
       A_0 為(AE) ̅中點,(AD) ⃡、(BE) ⃡為原五邊形對角線,I為對角線(AD) ⃡、(BE) ⃡交點,F
       為兩垂線(EE_1 ) ⃡、(AA_1 ) ⃡交點。
       ∠A_1 A_0 E_1=180°-∠A_1 A_0 A-∠E_1 A_0 E
       ∵∠A_0 AA_1=∠A_0 A_1 A(等腰)
         ∠A_0 EE_1=∠A_0 E_1 E(等腰)
       ∴∠A_1 A_0 A=180°-2∠A_0 AA_1
         ∠E_1 A_0 E=180°-2∠A_0 EE_1
       ⟹∠A_1 A_0 E_1=180°-∠A_1 A_0 A-∠E_1 A_0 E
                  =180°-(180°-2∠A_0 AA_1)-(180°-2∠A_0 EE_1)
                  =2∠A_0 AA_1+2∠A_0 EE_1-180°
                  =2(∠A_0 AA_1+∠A_0 EE_1)-180°
                  =2(180°-∠AFE) -180°
                  =-2∠AFE+180°
                  =-2(180°-∠A_1 IE_1 )+180°
       ∵∠A_1 IE_1=∠AIE(對頂角)
       ∴∠A_1 A_0 E_1=-2(180°-∠A_1 IE_1 )+180°
                 =-2(180°-∠AIE)+180°
                 =2∠AIE-180°
       得原先的比例為(A_1 E_1 ) ̅/(AE) ̅ =sin⁡〖((2∠AIE-180°)/2)〗
                         =sin⁡〖(∠AIE-90°)〗
       ⟹(AE) ̅∶(A_1 E_1 ) ̅=1∶sin⁡〖(∠AIE-90°)〗
       其餘四邊的推法皆相同,即原圖形和中頂五邊形的邊長比為
       原圖形邊長∶中頂五邊形邊長=1∶sin⁡〖(對角線夾角-90°)〗
    3.六邊形推導
     ①基本推導
       如圖,六邊形ABCDEF為原六邊形,六邊形A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1為中頂六邊

形;A_0 為(AF) ̅中點,(AE) ⃡、(BF) ⃡為原六邊形對角線。(A_1 F_1 ) ̅是圓上一弦,其長 度可用弦長公式表示為:

       (A_1 F_1 ) ̅=(AF) ̅×sin⁡〖((∠A_1 A_0 F_1)/2)〗
       邊長比即為:
       (A_1 F_1 ) ̅/(AF) ̅ =((AF) ̅×sin⁡〖((∠A_1 A_0 F_1)/2)〗)/(AF) ̅ 
           =sin⁡〖((∠A_1 A_0 F_1)/2)〗
       此為原圖形和中頂六邊形的邊長比。
     ②原圖形和中頂六邊形的邊長比與對角線夾角的關係
        
       如圖,六邊形ABCDEF為原六邊形,六邊形A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1為中頂六邊
       形;A_0 為(AF) ̅中點,(AE) ⃡、(BF) ⃡為原六邊形對角線。I為對角線(AE) ⃡、(BF) ⃡的
       交點,G為兩垂線(AA_1 ) ⃡、(FF_1 ) ⃡的交點。
       ∠A_1 A_0 F_1=180°-∠A_1 A_0 A-∠F_1 A_0 F
       ∵∠A_0 AA_1=∠A_0 A_1 A(等腰)
         ∠A_0 FF_1=∠A_0 F_1 F(等腰)
       ∴∠A_1 A_0 A=180°-2∠A_0 AA_1
         ∠F_1 A_0 F=180°-2∠A_0 FF_1
       ⟹∠A_1 A_0 F_1=180°-∠A_1 A_0 A-∠F_1 A_0 F
                  =180°-(180°-2∠A_0 AA_1)-(180°-2∠A_0 FF_1)
                  =2∠A_0 AA_1+2∠A_0 FF_1-180°
                  =2(∠A_0 AA_1+∠A_0 FF_1)-180°
                  =2(180°-∠AGF) -180°
                  =-2∠AGF+180°
                  =-2(180°-∠A_1 IF_1 )+180°
       ∵∠A_1 IF_1=∠AIF(對頂角)
       ∴∠A_1 A_0 F_1=-2(180°-∠A_1 IF_1 )+180°
                 =-2(180°-∠AIF)+180°
                 =2∠AIF-180°
       得原先的比例為(A_1 F_1 ) ̅/(AF) ̅ =sin⁡〖((2∠AIF-180°)/2)〗
                         =sin⁡〖(∠AIE-90°)〗
       ⟹(AF) ̅∶(A_1 F_1 ) ̅=1∶sin⁡〖(∠AIF-90°)〗
       其餘五邊的推法皆相同,即原圖形和中頂六邊形的邊長比為
       原圖形邊長∶中頂六邊形邊長=1∶sin⁡〖(對角線夾角-90°)〗
    4.n邊形推導(n>4)
     ①基本推導
       如圖,L、M、N、O為n邊形頂點,L_1 、M_1 、N_1 、O_1為中頂n邊形頂
       點;M_0為(MN) ̅的中點,(LN) ⃡、(MO) ⃡為原n邊形對角線。(M_1 N_1 ) ̅為圓上一弦,

其長度可用弦長公式為表示:

       (M_1 N_1 ) ̅=(MN) ̅×sin⁡〖((∠M_1 M_0 N_1)/2)〗
       邊長比即為:
       (M_1 N_1 ) ̅/(MN) ̅ =((MN) ̅×sin⁡〖((∠M_1 M_0 N_1)/2)〗)/(MN) ̅ 
           =sin⁡〖((∠M_1 M_0 N_1)/2)〗
       此為原n邊形和中頂n邊形的邊長比。
     ②n邊形和中頂n邊形的邊長比與對角線夾角的關係

       如圖,L、M、N、O為n邊形頂點,L_1 、M_1 、N_1 、O_1為中頂n邊形頂
       點;M_0為(MN) ̅的中點,(LN) ⃡、(MO) ⃡為原n邊形對角線。R為對角線(LN) ⃡、(MO) ⃡

的交點,Q為兩垂線(MM_1 ) ⃡、(NN_1 ) ⃡的交點。

       ∠M_1 M_0 N_1=180°-∠M_1 M_0 M-∠N_1 M_0 N
       ∵∠M_0 MM_1=∠M_0 M_1 M(等腰)
         ∠M_0 NN_1=∠M_0 N_1 N(等腰)
       ∴∠M_1 M_0 M=180°-2∠M_0 MM_1
         ∠N_1 M_0 N=180°-2∠M_0 NN_1
       ⟹∠M_1 M_0 N_1=180°-∠M_1 M_0 M-∠N_1 M_0 N
                  =180°-(180°-2∠M_0 MM_1)-(180°-2∠M_0 NN_1)
                  =2∠M_0 MM_1+2∠M_0 NN_1-180°
                  =2(∠M_0 MM_1+∠M_0 NN_1)-180°
                  =2(180°-∠MQN) -180°
                  =-2∠MQN+180°
                  =-2(180°-∠M_1 RN_1 )+180°
       ∵∠M_1 RN_1=∠MRN(對頂角)
       ∴∠M_1 M_0 N_1=-2(180°-∠M_1 RN_1 )+180°
                 =-2(180°-∠MRN)+180°
                 =2∠MRN-180°
       得原先的比例為(M_1 N_1 ) ̅/(MN) ̅ =sin⁡〖((2∠MRN-180°)/2)〗
                         =sin⁡〖(∠MRN-90°)〗
       ⟹(MN) ̅∶(M_1 N_1 ) ̅=1∶sin⁡〖(∠MRN-90°)〗
       其餘(n-1)邊推法相同,即原n邊形和中頂n邊形的邊長比為
       原n邊形邊長∶中頂n邊形邊長=1∶sin⁡〖(對角線夾角-90°)〗
       *(n>4)

中頂四邊形和原圖形面積比[编辑 | 编辑源代码]

    如圖,四邊形ABCD為原四邊形,四邊形A_1 B_1 C_1 D_1為中頂四邊形。
    由凸四邊形面積公式:
    四邊形ABCD=1/2 (AC) ̅×(BD) ̅×sin⁡〖(∠CID)〗
    四邊形A_1 B_1 C_1 D_1=1/2 (A_1 C_1 ) ̅×(B_1 D_1 ) ̅×sin⁡〖(∠CID)〗

    如圖,連接(AA_1 ) ̅、(BB_1 ) ̅、(CC_1 ) ̅、(DD_1 ) ̅,形成四個直角三角形△AA_1 I、△
    BB_1 I、△CC_1 I、△DD_1 I,則:
    (AI) ̅=(A_1 I) ̅/sin⁡〖(∠A_1 AI)〗 ,(BI) ̅=(B_1 I) ̅/sin⁡〖(∠B_1 BI)〗 ,(CI) ̅=(C_1 I) ̅/sin⁡〖(∠C_1 CI)〗 ,(DI) ̅=(D_1 I) ̅/sin⁡〖(∠D_1 DI)〗 
    ∵∠A_1 AI=∠B_1 BI=∠C_1 CI=∠D_1 DI
    ∴(AC) ̅=(AI) ̅+(CI) ̅=((A_1 I) ̅+(C_1 I) ̅)/sin⁡〖(∠A_1 AI)〗 
      (BD) ̅=(BI) ̅+(DI) ̅=((B_1 I) ̅+(D_1 I) ̅)/sin⁡〖(∠A_1 AI)〗 
    ⟹四邊形ABCD=1/2  (((A_1 I) ̅+(C_1 I) ̅)((B_1 I) ̅+(D_1 I) ̅))/sin⁡〖(∠A_1 AI)〗 ×sin⁡〖(∠CID)〗
    又四邊形A_1 B_1 C_1 D_1=1/2((A_1 I) ̅+(C_1 I) ̅)((B_1 I) ̅+(D_1 I) ̅)×sin⁡〖(∠CID)〗
    得四邊形ABCD∶四邊形A_1 B_1 C_1 D_1=
    1/2  (((A_1 I) ̅+(C_1 I) ̅)((B_1 I) ̅+(D_1 I) ̅))/sin⁡〖(∠A_1 AI)〗 ×sin⁡〖(∠CID)〗∶1/2((A_1 I) ̅+(C_1 I) ̅)((B_1 I) ̅+(D_1 I) ̅)×sin⁡〖(∠CID)〗
    =(((A_1 I) ̅+(C_1 I) ̅)((B_1 I) ̅+(D_1 I) ̅))/sin⁡〖(∠A_1 AI)〗 ∶((A_1 I) ̅+(C_1 I) ̅)((B_1 I) ̅+(D_1 I) ̅)
    =1/sin⁡〖(∠A_1 AI)〗 ∶1
    =1∶sin⁡〖(∠A_1 AI)〗
    ∠A_1 AI=90°-∠AIA_1
    代入得四邊形ABCD∶四邊形A_1 B_1 C_1 D_1=1∶sin⁡〖(90°-∠AIA_1)〗
    
    ∵(B_1 C_1 ) ̅/(BC) ̅ =((BC) ̅×sin⁡〖((∠B_1 NC_1)/2)〗)/(BC) ̅ 
    =sin⁡((∠B_1 NC_1)/2)
      (A_1 B_1 ) ̅/(AB) ̅ =((AB) ̅×sin⁡〖((∠B_1 MA_1)/2)〗)/(AB) ̅   
         =sin⁡〖((∠B_1 MA_1)/2)〗  
      (C_1 D_1 ) ̅/(CD) ̅ =((CD) ̅×sin⁡〖((∠A_1 PD_1)/2)〗)/(CD) ̅ 
          =sin⁡〖((∠A_1 PD_1)/2)〗
      (A_1 D_1 ) ̅/(AD) ̅ =((AD) ̅×sin⁡〖((C_1 OD_1)/2)〗)/(AD) ̅ 
          =sin⁡〖((∠C_1 OD_1)/2)〗  
      且∠B_1 NC_1=∠B_1 MA_1=∠A_1 PD_1=∠C_1 OD_1
      令∠B_1 NC_1=∠B_1 MA_1=∠A_1 PD_1=∠C_1 OD_1=n
    ∴(四邊形A_1 B_1 C_1 D_1 面積)/四邊形ABCD面積=〖sin⁡〖(n/2)〗〗^2 (因兩者相似)
    由中頂四邊形邊長比之結論,〖sin⁡(n/2)〗^2=〖sin⁡(90°-∠BIC)〗^2
    四邊形ABCD:四邊形GEHF=1∶〖sin⁡(90°-∠BIC)〗^2
=== 已知中頂多邊形邊長比,可推得原圖形對角線交點至中頂多邊形頂點長度
    比之關係式 ===

    1.如圖,利用中頂多邊形新畫法,做A、B、E三點垂足於隔邊中點連線,
      M、N分別為(AB) ̅和(AE) ̅的中點((A_1 K) ̅和(A_1 O) ̅分別是圖中的紅色線段和綠色線
  段,紫色點A_1 、B_1 、E_1為中頂多邊形頂點)
      (AA_1 ) ̅÷(A_1 K) ̅=tan⁡〖∠AKA_1 〗,(AA_1 ) ̅÷(A_1 O) ̅=tan⁡〖∠AOA_1 〗
      ⟹(AA_1 ) ̅=(A_1 K) ̅∙tan⁡〖∠AKA_1 〗=(A_1 O) ̅∙tan⁡〖∠AOA_1 〗
      (A_1 K) ̅=(AA_1 ) ̅/tan⁡〖∠AKA_1 〗 
      (A_1 O) ̅=(AA_1 ) ̅/tan⁡〖∠AA_1 N〗 
      (A_1 K) ̅÷(A_1 O) ̅=tan⁡〖∠AKA_1 〗/tan⁡〖∠AA_1 N〗 
      ∠AKA_1=180°-∠B_1 KA_1
            =180°- (360°-∠AB_1 P-∠KA_1 P-∠A_1 PB_1)
      ∵∠AB_1 P=∠KA_1 P=90°
      ∴∠AKA_1=180°-(360°-∠AB_1 P-∠KA_1 P-∠A_1 PB_1 )
              =∠A_1 PB_1
     運用相同計算方式可得∠AA_1 N=∠A_1 QE_1
     由圖
      (A_1 K) ̅÷(A_1 O) ̅=tan⁡〖∠AKA_1 〗/tan⁡〖∠AA_1 N〗 
               =tan⁡〖∠A_1 PB_1 〗/tan⁡〖∠A_1 QE_1 〗 
               =tan⁡〖(180°-∠ABP-∠BAP)〗/tan⁡〖(180°-∠AEQ-∠EAQ)〗 
      ∵(MB) ̅=(MB_1 ) ̅,(MA_1 ) ̅=(MA) ̅,(NE) ̅=(NE_1 ) ̅,(NA_1 ) ̅=(NA) ̅
      ⟹∠BMB_1=180°-2∠MBB_1,∠AMA_1=180°-2∠MAA_1
       ∠E_1 NE=180°-2∠NEE_1,∠ANA_1=180°-2NAA_1
      ⟹∠MBB_1=90°-(∠BMB_1)/2,∠MAA_1=90°-(∠AMA_1)/2
         ∠NEE_1=90°-(∠E_1 NE)/2,∠A_1 AN=90°-(∠ANA_1)/2
      ⟹(A_1 K) ̅÷(A_1 O) ̅=tan⁡〖(180°-∠ABP-∠BAP)〗/tan⁡〖(180°-∠AEQ-∠EAQ)〗 
           =tan⁡〖(180°-90°+(∠BMB_1)/2-90°+(∠AMA_1)/2)〗/tan⁡〖(180°-90°+(∠E_1 NE)/2-90°+(∠ANA_1)/2)〗 
                   =tan⁡〖((∠BMB_1)/2+(∠AMA_1)/2)〗/tan⁡〖((∠E_1 NE)/2+(∠ANA_1)/2)〗 
                   =tan⁡〖((180°-∠A_1 MB_1)/2)〗/tan⁡〖((180°-∠A_1 NE_1)/2)〗 
                   =tan⁡〖(90°-(∠A_1 MB_1)/2)〗/(tan⁡〖(90°-(∠A_1 NE_1)/2〗))
      ∵(AB) ̅/(AE) ̅ =sin⁡〖((∠A_1 MB_1)/2)〗,(B_1 K) ̅/(E_1 O) ̅ =sin⁡〖((∠A_1 NE_1)/2)〗
      ∠A_1 MB_1=2∙〖sin〗^(-1)⁡((AB) ̅/(AE) ̅ ),∠A_1 NE_1=2∙〖sin〗^(-1)⁡〖((B_1 K) ̅/(E_1 O) ̅ )〗
     令(AB) ̅/(AE) ̅ =a,(B_1 K) ̅/(E_1 O) ̅ =b
      ∴(A_1 K) ̅÷(A_1 O) ̅=tan⁡〖(90°-(∠A_1 MB_1)/2)〗/(tan⁡〖(90°-(∠A_1 NE_1)/2〗))
                 =tan⁡〖(90°-(2∙〖sin〗^(-1)⁡a)/2)〗/(tan⁡〖(90°-(2∙〖sin〗^(-1)⁡b)/2〗))
                 =tan⁡〖(90°-〖sin〗^(-1)⁡a)〗/(tan⁡〖(90°-〖sin〗^(-1)⁡b 〗))
      化簡得cot⁡〖(〖sin〗^(-1)⁡a)〗/cot⁡〖〖(〖sin〗^(-1)〗⁡b)〗 
    2.該函數式的範圍界定
     因∠BMB_1 、∠AMA_1和∠ANA_1 、∠ENE_1必大於0°(否則中頂多邊形不存
     在),
     故0°<∠A_1 MB_1<180°
     且0°<∠A_1 NE_1<180°
     即〖sin〗^(-1)⁡ 的結果必大於0°且小於180°

參考資料[编辑 | 编辑源代码]

https://sites.google.com/site/zhongdingduobianxing/