倍長中線法

定義

把一個三角形里的中線延長至原來的一半，構造全等三角形

用法

在一個三角形里，有中線，要求證明和差關係，80%的情況要用倍長中線法，20%的情況用一般方法。

例題

例1：如圖（上），在△ABC中，AB=2AC，AD平分BC，AD⊥AC，求∠BAC的度數。

解：∠BAC=120，理由如下：

延長DA,使DA=DE，連接BE。

因為D是中點

從而△ADC≌△BDE（SAS）

從而∠E=∠EAC=90，BE=AC

因為AB=2AC

從而 1/2AB=BE

從而∠BAE=30（在直角三角形中，如果有一個角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半）

從而∠BAC

=∠BAE+∠EAC

=30+90

=120

例2：如圖（下），在△ABC中，AB=5a，AC=3a（a>0），求中線AD的取值範圍。

解：延長AD至AE,交BC於D，使DE=AD。連接EC。

因為點D是中點

所以△ABD≌△CDE(SAS)

由題意：AC+EC>AE>AC-EC，AB=EC=5a，AC=3a。

所以AE的取值範圍為：即8a>AE>2a

由題意：AE=2AD

所以4a>AD>a