地震学基础试行讲义/大森公式专题

概述

对地震波稍有了解的朋友们都知道，在一次地震发生后，测站首先会先后观测到P波和S波的波形。在日本初中的地球科学科目的教学中，学生需要通过若干个测站的震中距和观测到P波和S波的时间来计算出发震时刻、其他测站观测到地震波的时间等参数。

19世纪末，日本地震学先驱大森房吉（Omori Fusakichi）提出了两个公式，被统称为大森公式（Omori's law），分别为

$d=(v_{p}*v_{s})/(v_{p}-v_{s})*t_{0}$

其中， $d$ 为测站与震源的距离， $v_{p}$ 为P波传播速度， $v_{s}$ 为S波传播速度， $t_{0}$ 为初期微动持续时间（duration of preliminary tremors）。

$N(t)=K/(t+c)$

其中， $N(t)$ 为主震发生后到特定时间t内余震的数量， $K$ 和 $c$ 均为系数。

1961年，日本地震学家宇津德治对余震次数与时间的关系式进行了修正，为目前被广泛运用的版本。表达式为

$N(t)=K/(t+c)^{p}$

其中， $N(t)$ 为主震发生后到特定时间 $t$ 内余震的数量， $K$ 和 $c$ 均为系数， $p$ 为和衰减速度相关的系数。

由于初期微动持续时间与震源距离的关系式仅是通过运动学公式推导得来，因此在中国，一般地，大森公式仅表示1894年提出的余震次数与时间的关系式。在本讲义中，我们将着重说明1899年提出的初期微动持续时间与震源距离的关系式。

在运动学中，速度、距离和时间的关系为

$v=s/t$

其中， $v$ 为速度， $s$ 为距离， $t$ 为时间。

在均匀介质内，假定P波和S波的传播速度不会衰减，则P波和S波的传播均为匀速直线运动，其速度 $v_{p}$ 和 $v_{s}$ 分别为

$v_{p}=d/t_{p}$

$v_{s}=d/t_{s}$

其中， $d$ 为测站与震源的距离， $t_{p}$ 为P波传播总时间， $t_{s}$ 为S波传播总时间。

我们以 $t_{0}$ 表示测站从记录到P波到记录到S波之间的时间（即初期微动持续时间），即 $t_{0}=t_{s}-t_{p}$ ，则有

$t_{0}=d/v_{s}-d/v_{p}$

整理，得到初期微动持续时间与震源距离的关系式

$d=(v_{p}*v_{s})/(v_{p}-v_{s})*t_{0}$

【例题】

如下表所示。该表列出了测站A的震源距离以及观测到P波和S波的时间。由于种种问题，测站A的部分数据受损无法显示。

	震源距离	观测到P波的时间	观测到S波的时间
测站A	53.3 km	******	8:05:23.9

已知该次地震的震源深度为10.0 km，该地区的P波和S波的传播速度分别为6.4 km/s和4.0 km/s。震波传播速度的衰减忽略不计。则测站A观测到P波的时间为何时？

【解答】

根据测站A的数据和P波和S波的传播速度，代入初期微动持续时间与震源距离的关系式，得到

$t_{0}=(v_{p}-v_{s})/(v_{p}*v_{s})*d=(6.4-4.0)/(6.4*4.0)*53.3\thickapprox 5.0s$

因此，测站A观测到P波的时间较观测到S波的时间早5.0秒，即8:05:18.9。

上述例题是一道十分经典的日本初中地球科学的固体地球章节计算练习题。题目清晰地给出了所有条件，即便没有记住初期微动持续时间与震源距离的关系式，通过运动学公式稍作计算也可求出所求参数。

虽然中国的中等教育阶段暂时没有地球科学课程，但通过中国的初中物理课程，也可以推算出初期微动持续时间与震源距离的关系式这样的公式。虽然在现实中，地震波的传播速度会随着传播距离的增加而衰减，但作为地震学基础知识，通过这样的引导，也可对P波和S波的传播得到进一步认识。

1 如下表所示。该表列出了测站A的震源距离以及观测到P波和S波的时间。由于种种问题，测站A的部分数据受损无法显示。


	震中距	观测到P波的时间	观测到S波的时间
测站A	40.0 km	12:35:19.1	******

已知该次地震的震源深度为30.0 km，该地区的P波和S波的传播速度分别为6.5 km/s和4.0 km/s。震波传播速度的衰减忽略不计。

1.测站A观测到S波的时间为何时？

2.该次地震的发震时刻为何时？