函數之連續

讀者朋友請注意，本文有較多的公式，請將瀏覽器的字體調大(20號左右)，以便閱讀，謝謝！

極限的補充說明

函數的左極限定義

設函數 $\left.f(x)\right.$ 在 $a\in \mathbf {R}$ 的某個去心鄰域的左半區間 $\left.(-\epsilon ,a)\right.$ 內有定義。若 $\forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}}$ ，總有 $\exists \delta \in \mathbf {R^{+}}$ ， $A\in \mathbf {R}$ 使得當 $\left.x\right.$ 滿足 $\left.a-x\right.<\delta$ 時，必有：

\left|f(x)-A\right|<\varepsilon

則稱函數 $\left.f(x)\right.$ 趨於常數 $\left.a\right.$ 的左極限是 $\left.A\right.$ ，通常記作：

\lim _{x\to a_{-}}f(x)=A

函數的右極限定義

設函數 $\left.f(x)\right.$ 在 $a\in \mathbf {R}$ 的某個去心鄰域的右半區間 $\left.(a,\epsilon )\right.$ 內有定義。若 $\forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}}$ ，總有 $\exists \delta \in \mathbf {R^{+}}$ ， $A\in \mathbf {R}$ 使得當 $\left.x\right.$ 滿足 $\left.x-a\right.<\delta$ 時，必有：

\left|f(x)-A\right|<\varepsilon

則稱函數 $\left.f(x)\right.$ 趨於常數 $\left.a\right.$ 的右極限是 $\left.A\right.$ ，通常記作：

\lim _{x\to a_{+}}f(x)=A

函數極限存在的等價條件

函數 $\left.f(x)\right.$ 在點 $\left.a\right.$ 處（其中 $a\in \mathbf {R}$ ）的極限是否存在等價於函數的左極限與右極限都存在且相等；與函數 $\left.f(x)\right.$ 在點 $\left.a\right.$ 處是否有定義無關。例如：

g(x)={\frac {\sin(x)}{x}},x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )

\lim _{x\to 0}g(x)=1

函數 $\left.g(x)\right.$ 在點0處沒有定義，但其在點0處的極限存在。

連續的定義與性質

定義

函數在某點上連續的定義

1.左連續：設函數 $\left.f(x)\right.$ 在 $\left.x=a\right.$ 點處有定義，在 $\left.x=a\right.$ 點處左極限存在，並且滿足：

f(a)=\lim _{x\to a_{-}}f(x)

則稱函數 $\left.f(x)\right.$ 在 $\left.x=a\right.$ 點處左連續。

2.右連續：設函數 $\left.f(x)\right.$ 在 $\left.x=a\right.$ 點處有定義，在 $\left.x=a\right.$ 點處右極限存在，並且滿足：

f(a)=\lim _{x\to a_{+}}f(x)

則稱函數 $\left.f(x)\right.$ 在 $\left.x=a\right.$ 點處右連續。

3.連續：函數 $\left.f(x)\right.$ 在點 $\left.x=a\right.$ 處連續等價於函數 $\left.f(x)\right.$ 同時滿足點 $\left.x=a\right.$ 處的左連續性與右連續性。以上條件可表述為：

f(a)=\lim _{x\to a_{+}}f(x)=\lim _{x\to a_{-}}f(x)=\lim _{x\to a_{}}f(x)=c,c\in \mathbf {R}

函數在開區間上連續的定義

設 $a,b\in \mathbf {R}$ 滿足 $\left.a<b\right.$ ；若函數 $\left.f(x)\right.$ 在開區間 $\left.(a,b)\right.$ 內每一點都連續，則稱函數 $\left.f(x)\right.$ 在該開區間上連續，記作：

f(x)\in C(a,b)

函數在閉區間上連續的定義

設 $a,b\in \mathbf {R}$ 滿足 $\left.a<b\right.$ ；若函數 $\left.f(x)\right.$ 在開區間 $\left.(a,b)\right.$ 內每一點都連續，且函數 $\left.f(x)\right.$ 在點 $\left.x=a\right.$ 上右連續，在點 $\left.x=b\right.$ 上左連續，則稱 $\left.f(x)\right.$ 在閉區間 $\left.[a,b]\right.$ 上連續，記作：

f(x)\in C[a,b]

閉區間上連續函數的性質

最大最小值性質

若函數 $\left.f(x)\right.$ 在閉區間 $\left.[a,b]\right.$ 上連續，則 $\exists \xi _{1},\xi _{2}\in [a,b]$ 恆滿足 $\forall c\in [a,b]$ 有 $f(\xi _{1})\leq f(c)\leq f(\xi _{2})$ 。

零點定理

若函數 $\left.f(x)\right.$ 在閉區間 $\left.[a,b]\right.$ 上連續，且 $f(a)\cdot f(b)<0$ ，則 $\exists \xi \in (a,b)$ 滿足 $\left.f(\xi )=0\right.$ 。

介值定理

若函數 $\left.f(x)\right.$ 在閉區間 $\left.[a,b]\right.$ 上連續，且 $\mathrm {max} (f(a),f(b))>c>\mathrm {min} (f(a),f(b)),c\in \mathbf {R}$ ，則 $\exists \xi \in (a,b)$ 滿足 $\left.f(\xi )=c\right.$ 。

一致連續

定義

設函數 $\left.f(x)\right.$ 在區間 $\left.U\right.$ 上有定義。若 $\forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}}$ ， $\exists \delta \in \mathbf {R^{+}}$ ，對所有滿足 $x_{1},x_{2}\in U$ 且 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 的都有：

\left|f(x_{1})-f(x_{2})\right|<\varepsilon

則稱函數 $\left.f(x)\right.$ 在區間 $\left.U\right.$ 上一致連續。

性質

一致連續與連續的關係

函數 $\left.f(x)\right.$ 在區間 $\left.U\right.$ 上一致連續 $\Rightarrow f(x)$ 在區間 $\left.U\right.$ 上連續（反之未必成立）。應該注意的是，一個函數是否在某個區間上一致連續。這個事情往往和區間有關例如， $f(x)=x^{2}$ 整個實數軸上不是一致連續的。但是如果把這函數的定義域限制在一個有限的區間上，那麼它是一致連續的。

康托爾（Cantor）定理

函數 $f(x)\in C[a,b]\Leftrightarrow$ 函數 $\left.f(x)\right.$ 在閉區間 $\left.[a,b]\right.$ 上一致連續。

函數的間斷點

第一類間斷點

可去間斷點

若函數 $\left.f(x)\right.$ 在 $\left.a\right.$ 點處的極限存在，但 $\left.f(x)\right.$ 在 $\left.a\right.$ 點處無定義，或者是有定義，不過 $f(a)\not =\lim _{x\to a}f(x)$ ，則稱 $\left.a\right.$ 點為函數 $\left.f(x)\right.$ 的可去間斷點。

跳躍間斷點

若函數 $\left.f(x)\right.$ 在 $\left.a\right.$ 點處滿足條件： $\lim _{x\to a_{-}}f(x)$ 與 $\lim _{x\to a_{+}}f(x)$ 均存在，但 $\lim _{x\to a_{-}}f(x)\not =\lim _{x\to a_{+}}f(x)$ ，則稱 $\left.a\right.$ 點為函數 $\left.f(x)\right.$ 的跳躍間斷點。