雙生質數

什麼是孿生素數猜想

素數p與素數p+2有無窮多對

孿生素數的公式

利用素數的判定法則，可以得到以下的結論：「若自然數 $q$ 與 $q + 2$ 都不能被任何不大於 $\sqrt{q + 2}$ 的素數整除，則 $q$ 與 $q + 2$ 都是素數」。這是因為一個自然數 $n$ 是素數若且唯若它不能被任何小於等於 $\sqrt{n}$ 的素數整除。用數學的語言表示以上的結論，就是：

存在一組自然數

b_{1}, b_{2}, \cdot, b_{k}

，使得

q = p_{1} m_{1} + b_{1} = p_{2} m_{2} + b_{2} = \dots = p_{k} m_{k} + b_{k} \dots (1)

其中 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{k}$ 表示從小到大排列時的前k個素數：2，3，5，....。並且滿足

\forall 1 \leq i \leq k, 0 < b_{i} < p_{i}, b_{i} \neq 0, b_{i} \neq p_{i} - 2.

這樣解得的自然數 $q$ 如果滿足 $q < p_{K + 1}^{2} - 2$ ,則 $q$ 與 $q + 2$ 是一對孿生素數。我們可以把（1）式的內容等價轉換成為同餘方程組表示：

q \equiv b_{1} (\mod p_{1}), q \equiv b_{2} (\mod p_{2}), \dots, q \equiv b_{k} (\mod p_{k}) \dots (2)

由於（2）的模 $p_{1}$ , $p_{2}$ ,..., $p_{k}$ 都是素數，因此兩兩互素，根據孫子定理（中國剩餘定理）知，對於給定的 $b_{1}, b_{2}, \cdot, b_{k}$ ，（2）式有唯一一個小於 $p_{1} p_{2} \dots p_{k}$ 的正整數解。

範例

例如k=1時， $q = 2 m_{1} + 1$ ，解得 $q = 3, 5$ 。由於 $5 < 3^{2} - 2$ ，所以可知 $3$ 與 $3 + 2$ 、 $5$ 與 $5 + 2$ 都是孿生素數。這樣就求得了區間 $(3, 3^{2})$ 里的全部孿生素數對。

又比如k=2時，列出方程 $q = 2 m_{1} + 1 = 3 m_{2} + 2$ ，解得 $q = 5, 11, 17$ 。由於 $17 < 5^{2} - 2$ ，所以 $11$ 與 $11 + 2$ 、 $17$ 與 $17 + 2$ 都是了孿生素數。由於這已經是所有可能的 $b_{1}, b_{2}, \cdot, b_{k}$ 值，所以這樣就求得了區間 $(5, 5^{2})$ 的全部孿生素數對。

k=3時	$5 m_{3} + 1$	$5 m_{3} + 2$	$5 m_{3} + 4$
$q = 2 m_{1} + 1 = 3 m_{2} + 2$ =	11,41	17	29

由於這已經是所有可能的 $b_{1}, b_{2}, \cdot, b_{k}$ 值，所以這樣就求得了區間 $(7, 7^{2})$ 的全部孿生素數對。

k=4時	$7 m_{4} + 1$	$7 m_{4} + 2$	$7 m_{4} + 3$	$7 m_{4} + 4$	$7 m_{4} + 6$
$q = 2 m_{1} + 1 = 3 m_{2} + 2 = 5 m_{3} + 1$ =	71	191	101	11	41
$q = 2 m_{1} + 1 = 3 m_{2} + 2 = 5 m_{3} + 2$ =	197	107	17	137	167
$q = 2 m_{1} + 1 = 3 m_{2} + 2 = 5 m_{3} + 4$ =	29	149	59	179	209

　　　由於這已經是所有可能的 $b_{1}, b_{2}, \cdot, b_{k}$ 值，所以這樣就求得了區間 $(11, 1 1^{2})$ 的全部孿生素數對（8個小於121-2的解）。　　　　　仿此下去可以一個不漏地求得任意大的數以內的全部孿生素數對。對於所有可能的 $b_{1}, b_{2} \cdot, b_{k}$ 值，(1)和(2)式在 $p_{1}$ $p_{2}$ ... $p_{k}$ 範圍內，有（ $p_{1} - 1$ ）（ $p_{2} - 2$ ）( $p_{3} - 2$ )...（ $p_{k} - 2$ ）（3）個解。

結論推廣

孿生素數猜想就是在k值任意大時（1）和（2）式都有小於 $p_{k + 1}^{2} - 2$ 的解。