拉普拉斯矢量場

本研究的主題是拉普拉斯矢量場。

在矢量微積分中，拉普拉斯矢量場屬於矢量場，既保守向量場又不可壓縮流。如果該矢量場表示為 v，則由以下微分方程描述：

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\times 𝐯& =\mathrm{𝟎},\\ \mathrm{\nabla }\cdot 𝐯& =0\end{array}$

從向量恆等式列表 ${\mathrm{\nabla }}^2𝐯\equiv \mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯)-\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐯)$ 它遵循

${\mathrm{\nabla }}^2𝐯=0$

也就是說，v 滿足了拉普拉斯方程。

平面中的拉普拉斯矢量場滿足柯西－黎曼方程：它是全形 (數學)的。

由於 v 的旋度為零，因此（當定義域簡單連接時）v 可以表示為標量勢的梯度（參見保守向量場）φ：

$𝐯=\mathrm{\nabla }\varphi (1)$

然後，由於 v 的散度也為零，因此從等式（1）得出

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\varphi =0$

這相當於

${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =0$

因此，拉普拉斯矢量場的勢滿足拉普拉斯方程。