積分列表

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以下列出一些常用的積分。

符號意義

為簡便見，以下$n$和$c$代表一個常數、$x$是變數、$f$和 $g$是$x$的函數。不定積分的常數項將不會列出。

不定積分

多項式、指數及對數

• $\int cdx=cx$
• $\int x^{c}dx=\frac{x^{c+1}}{c+1}$ (若 c ≠- 1)
• $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|$

 

• $\int e^{x}dx=e^x$
• $\int c^{x}dx=\frac{c^x}{\ln c}$
• $\int \ln xdx=x\left(\ln x-1\right)$
• $\int {\log }_{c}xdx=\frac{x\left(\ln x-1\right)}{\ln c}$
• $\int x^n{e}^{-x}dx=-[x^n+n{x}^{n-1}+n(n-1)x^{n-2}+n(n-1)(n-2)x^{n-3}+\cdots +n!x^0]e^{-x},n\in N$

三角函數及反三角函數

• $\int \sin xdx=-\cos x$
• $\int \cos xdx=\sin x$
• $\int \tan xdx=\ln \left|\sec x\right|$
• $\int \cot xdx=\ln \left|\sin x\right|$
• $\int \sec xdx=\ln \left|\sec x+\tan x\right|$
• $\int \csc xdx=\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|$

 

• $\int {\sin }^{2}xdx=\frac{2x-\sin 2x}{4}$
• $\int {\cos }^{2}xdx=\frac{2x+\cos 2x}{4}$
• $\int {\tan }^{2}xdx=\tan x-x$
• $\int {\cot }^{2}xdx=-\cot x-x$
• $\int {\sec }^{2}xdx=\tan x$
• $\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x$

 

• $\int {\sin }^{3}xdx=\frac{{\cos }^{3}x-3\cos x}{3}$
• $\int {\cos }^{3}xdx=\frac{3\sin x-{\sin }^{3}x}{3}$
• $\int {\tan }^{3}xdx=\frac{{\sec }^{2}x-\ln {\sec }^{2}x}{2}$
• $\int {\cot }^{3}xdx=\frac{\ln {\csc }^{2}x-{\csc }^{2}x}{2}$

 

• $\int {\sin }^{-1}xdx=x{\sin }^{-1}x+\sqrt{1-x^2}$
• $\int {\cos }^{-1}xdx=x{\cos }^{-1}x-\sqrt{1-x^2}$
• $\int {\tan }^{-1}xdx=x{\tan }^{-1}x-\ln \sqrt{1+x^2}$
• $\int {\cot }^{-1}xdx=x{\cot }^{-1}x+\ln \sqrt{1+x^2}$

雙曲函數及反雙曲函數

• $\int \sinh xdx=\cosh x$
• $\int \cosh xdx=\sinh x$
• $\int \tanh xdx=\ln \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}x$
• $\int \coth xdx=\ln \left|\sinh x\right|$
• $\int \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}xdx={\sin }^{-1}\tanh x=2{\tan }^{-1}{e}^x$
• $\int \mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}xdx=\ln \left|\tanh \frac{x}{2}\right|=-2{\coth }^{-1}{e}^{\left|x\right|}$

 

• $\int {\sinh }^{-1}xdx=x{\sinh }^{-1}x-\sqrt{x^2+1}$
• $\int {\cosh }^{-1}x=x{\cosh }^{-1}x\mp \sqrt{x^2-1}$

其它形式

• $\int \frac{dx}{n^2{x}^2+c^2}=\frac{1}{nc}{\tan }^{-1}\frac{nx}{c}$
• $\int \frac{dx}{n^2{x}^2-c^2}=-\frac{1}{nc}{\tanh }^{-1}\frac{nx}{c}$

 

• $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+c^2}}={\sinh }^{-1}\frac{x}{c}$
• $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-c^2}}=\ln \left(x+\sqrt{x^2-c^2}\right)$
• $\int \frac{dx}{\sqrt{c^2-x^2}}={\sin }^{-1}\frac{x}{c}$

 

• $\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+c^2}}=-\frac{1}{c}\ln \left(\frac{c+\sqrt{c^2+x^2}}{x}\right)$
• $\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-c^2}}=-\frac{1}{c}{\sec }^{-1}\frac{x}{c}$
• $\int \frac{dx}{x\sqrt{c^2-x^2}}=-\frac{1}{c}\ln \left(\frac{c+\sqrt{c^2-x^2}}{x}\right)$

分部積分法

• $\int f{g}^{\prime }dx=fg-\int f^{\prime }gdx$

定積分

• ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}$
• ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}dx=\frac{\pi }{2}$
• ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^z{e}^{-\lambda x}dx={\lambda }^{-(z+1)}\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (其中$\lambda >0$)
• ${\int }_{-1}^1{e}^{izx}dx=\frac{2\sin z}{z}$
• ${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{a}x{\sin }^{b}xdx=\frac{1}{2}B(\frac{a+1}{2},\frac{b+1}{2})$ （其中$a,b>-1$, $B(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$）