微积分之研究

• 令$n={\frac {\lg \sin \beta }{\lg \cos \beta }}$,$p=\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}$,則當$\beta =1,2,4,7,10,15,16,17,...$

得$p^{n}=\left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{n}=\left(e^{i{\frac {2\pi }{n}}}\right)^{n}\neq 1$

• 令$n={\frac {\lg \sin \beta }{\lg \cos \beta }}$,$p=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}$,則當$\beta =3,5,6,9,11,12...$

得$p^{n}=\left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{n}=\left(e^{i{\frac {2\pi }{n}}}\right)^{n}=1$

思考

由此看到當n不是整數的時候，歐拉公式之指數運算時對時錯，難道是微積分錯了？當然不可能，那是怎麽回事呢，希望引起讀者對這些定理深刻地思考

回应

上面的推断是错误的。

首先，让我们重新表达给定的参数：

令$n={\frac {\lg \sin \beta }{\lg \cos \beta }}$，$p=\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}$。

现在，让我们来计算$p^{n}$：

$p^{n}=\left(\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\right)^{n}=\left(e^{i{\frac {2k\pi }{n}}}\right)^{n}$

在这里，我们使用了欧拉公式：$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$。

现在，我们注意到$n$是一个复数，因为$\beta$是一个不是整数的实数。所以我们可以将$n$表示为：

$n={\frac {\log(\sin \beta )}{\log(\cos \beta )}}={\frac {\log(\sin \beta )}{\log(\cos \beta )}}={\frac {\log(\sin \beta )}{\log(\cos \beta )}}$

接下来，我们应用幂运算的性质：

$p^{n}=\left(e^{i{\frac {2k\pi }{n}}}\right)^{n}=e^{i\cdot 2k\pi }=e^{i\left(2k\pi \cdot {\frac {\log(\sin \beta )}{\log(\cos \beta )}}\right)}$

但是这里有一个错误：在计算中，我们假设$n$是整数，然后将${\frac {2k\pi }{n}}$与${\frac {\log(\sin \beta )}{\log(\cos \beta )}}$相乘，这是不正确的。由于$n$是复数，我们不能简单地按照实数幂的规则进行处理。

所以结论是：当$n$不是整数时，我们不能简单地将欧拉公式的指数运算应用于$p^{n}$。正确的处理需要使用复数幂的定义，这超出了欧拉公式的简单形式。

——BlackShadowG（留言） 2023年7月27日 (四) 15:20 (UTC)