微积分之研究

• 令$n=\frac{\lg \sin \beta }{\lg \cos \beta }$,$p=\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$,則當$\beta =1,2,4,7,10,15,16,17,\mathrm{...}$

得$p^n={(\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n})}^n={\left(e^{i\frac{2\pi }{n}}\right)}^n\ne 1$

• 令$n=\frac{\lg \sin \beta }{\lg \cos \beta }$,$p=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$,則當$\beta =3,5,6,9,11,\mathrm{12...}$

得$p^n={(\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n})}^n={\left(e^{i\frac{2\pi }{n}}\right)}^n=1$

思考

由此看到當n不是整數的時候，歐拉公式之指數運算時對時錯，難道是微積分錯了？當然不可能，那是怎麽回事呢，希望引起讀者對這些定理深刻地思考

回应

上面的推断是错误的。

首先，让我们重新表达给定的参数：

令$n=\frac{\lg \sin \beta }{\lg \cos \beta }$，$p=\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$。

现在，让我们来计算$p^n$：

$p^n={(\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n})}^n={\left(e^{i\frac{2k\pi }{n}}\right)}^n$

在这里，我们使用了欧拉公式：$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$。

现在，我们注意到$n$是一个复数，因为$\beta$是一个不是整数的实数。所以我们可以将$n$表示为：

$n=\frac{\log (\sin \beta )}{\log (\cos \beta )}=\frac{\log (\sin \beta )}{\log (\cos \beta )}=\frac{\log (\sin \beta )}{\log (\cos \beta )}$

接下来，我们应用幂运算的性质：

$p^n={\left(e^{i\frac{2k\pi }{n}}\right)}^n=e^{i\cdot 2k\pi }=e^{i(2k\pi \cdot \frac{\log (\sin \beta )}{\log (\cos \beta )})}$

但是这里有一个错误：在计算中，我们假设$n$是整数，然后将$\frac{2k\pi }{n}$与$\frac{\log (\sin \beta )}{\log (\cos \beta )}$相乘，这是不正确的。由于$n$是复数，我们不能简单地按照实数幂的规则进行处理。

所以结论是：当$n$不是整数时，我们不能简单地将欧拉公式的指数运算应用于$p^n$。正确的处理需要使用复数幂的定义，这超出了欧拉公式的简单形式。

——BlackShadowG（留言） 2023年7月27日 (四) 15:20 (UTC)