微積分之研究

• 令$n=\frac{\lg \sin \beta }{\lg \cos \beta }$,$p=\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$,則當$\beta =1,2,4,7,10,15,16,17,\mathrm{...}$

得$p^n={(\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n})}^n={\left(e^{i\frac{2\pi }{n}}\right)}^n\ne 1$

• 令$n=\frac{\lg \sin \beta }{\lg \cos \beta }$,$p=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$,則當$\beta =3,5,6,9,11,\mathrm{12...}$

得$p^n={(\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n})}^n={\left(e^{i\frac{2\pi }{n}}\right)}^n=1$

思考

由此看到當n不是整數的時候，歐拉公式之指數運算時對時錯，難道是微積分錯了？當然不可能，那是怎麽回事呢，希望引起讀者對這些定理深刻地思考

回應

上面的推斷是錯誤的。

首先，讓我們重新表達給定的參數：

令$n=\frac{\lg \sin \beta }{\lg \cos \beta }$，$p=\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$。

現在，讓我們來計算$p^n$：

$p^n={(\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n})}^n={\left(e^{i\frac{2k\pi }{n}}\right)}^n$

在這裏，我們使用了歐拉公式：$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$。

現在，我們注意到$n$是一個複數，因為$\beta$是一個不是整數的實數。所以我們可以將$n$表示為：

$n=\frac{\log (\sin \beta )}{\log (\cos \beta )}=\frac{\log (\sin \beta )}{\log (\cos \beta )}=\frac{\log (\sin \beta )}{\log (\cos \beta )}$

接下來，我們應用冪運算的性質：

$p^n={\left(e^{i\frac{2k\pi }{n}}\right)}^n=e^{i\cdot 2k\pi }=e^{i(2k\pi \cdot \frac{\log (\sin \beta )}{\log (\cos \beta )})}$

但是這裏有一個錯誤：在計算中，我們假設$n$是整數，然後將$\frac{2k\pi }{n}$與$\frac{\log (\sin \beta )}{\log (\cos \beta )}$相乘，這是不正確的。由於$n$是複數，我們不能簡單地按照實數冪的規則進行處理。

所以結論是：當$n$不是整數時，我們不能簡單地將歐拉公式的指數運算應用於$p^n$。正確的處理需要使用複數冪的定義，這超出了歐拉公式的簡單形式。

——BlackShadowG（留言） 2023年7月27日 (四) 15:20 (UTC)