拓扑学入门引论
1852年，由Guthrie提出了一个著名的“四色问题”，在此问题中，问及了至少要准备多少种颜色，才能给任何含有四个地域的地图上色以分别这几个地区。当在平面几何上进行推论时，我们很容易，甚至不需要什么数学基础即可得出结论。然而，当我们着眼于这一问题的本质，我们可以提炼出一个新的问题：我们要如何去判定区域数量和区域之间连接的关系，才能确保无论对这个地图进行如何的扭曲、缩放、投影，最后的答案依旧不会变化？
这一问题由Euler多面体定理优美的解决了：设想有一个多面体，那些截面的数量为ƒ，它们之间的棱的数量为l，棱相交的顶点数量为v，那么：ƒ=2+l-v。
在这一公式中，我们可以明确的看到如果把它代入任何问题，这些问题中所假设的物体的截面本身面积或周长对判定上述三种变量之间的相对关系没有任何影响，而这样的特性，也可以在一定意义上称之为拓扑特性。在这第一个公式的引导下，我们可以将一个球体捏成一个橄榄球、一个葫芦亦或是一片面板都不会对它的拓扑性质有任何影响。
然而，很快出现了一个问题，假设我们有一个手环一样的立体环形出现，上述公式不但不成立，我们也无法仅仅通过对一个球体的变形而得到这个形状。因此在第一个公式的基础上，我们可以推算出第二个公式，即：ƒ=l-v。
为了说明的更清晰，我们可以稍微转换一下两个公式：
ƒ-l+v=2
ƒ-l+v=0
这样一来两个公式的共同点就非常明显了，ƒ-l+v所代表的数量随着曲面的性质变化而变化，于是我们可以将上述两个公式中的0和2称之为“Euler数”。这个数所代表的是曲面的几何性质，而当曲面变形时，此数不变。这种特别的几何性质，我们就称之为“拓扑性质”，而研究这种性质的学科，即几何学的一种分支，也就是本课程的教学范围-拓扑学。
拓扑学英文称Topology，通俗称谓橡皮几何学，这一俗称相信应可以给出一个生动形象的拓扑学研究对象的概念。
通过Euler多面体定理，我们对拓扑性质有了一个最初步的了解，那么拓扑性质在拓扑学中如何阐释并应用的呢？
首先，我们可以定义拓扑性质所体现的是几何图形作为一个整体所拥有的结构特性，在此基础上只要不通过粘连等方式破坏一个几何图形的整体结构，我们对它进行任何类型的变形，如拉伸、扭曲等，都不会对其拓扑性质造成任何变化。这些不改变拓扑性质的变形动作，我们就可以称之为拓扑变换。接下来，我们就可以试图用数学的符号来说明拓扑性质和拓扑变换的关系。
假设我们用点集M指代一个图形，经过变形的图形标记为M'，在变换中，M与M'一一对应。那么从M到M'的拓扑变换可以用函数ƒ: M→M'来表示，如果ƒ连续，便代表图形变形中没有撕裂。同理，从M'到M的反推则可以用ƒ-1: M'→M来表示，如果ƒ-1连续，便代表图形变形中没有粘连。
当确认了ƒ-1和ƒ都是连续的时候，我们就可以确认M和M'之间存在拓扑变换的关系，而ƒ即为此变换，因此M和M'是同胚的。这些同胚的图形因拓扑性质的一致，在拓扑学中可以不加区别。
定义下列词项：
- 拓扑性质
- 拓扑变换
- 同胚