拓撲學入門引論
1852年，由Guthrie提出了一個著名的「四色問題」，在此問題中，問及了至少要準備多少種顏色，才能給任何含有四個地域的地圖上色以分別這幾個地區。當在平面幾何上進行推論時，我們很容易，甚至不需要什麼數學基礎即可得出結論。然而，當我們着眼於這一問題的本質，我們可以提煉出一個新的問題：我們要如何去判定區域數量和區域之間連接的關係，才能確保無論對這個地圖進行如何的扭曲、縮放、投影，最後的答案依舊不會變化？
這一問題由Euler多面體定理優美的解決了：設想有一個多面體，那些截面的數量為ƒ，它們之間的棱的數量為l，棱相交的頂點數量為v，那麼：ƒ=2+l-v。
在這一公式中，我們可以明確的看到如果把它代入任何問題，這些問題中所假設的物體的截面本身面積或周長對判定上述三種變量之間的相對關係沒有任何影響，而這樣的特性，也可以在一定意義上稱之為拓撲特性。在這第一個公式的引導下，我們可以將一個球體捏成一個橄欖球、一個葫蘆亦或是一片面板都不會對它的拓撲性質有任何影響。
然而，很快出現了一個問題，假設我們有一個手環一樣的立體環形出現，上述公式不但不成立，我們也無法僅僅通過對一個球體的變形而得到這個形狀。因此在第一個公式的基礎上，我們可以推算出第二個公式，即：ƒ=l-v。
為了說明的更清晰，我們可以稍微轉換一下兩個公式：
ƒ-l+v=2
ƒ-l+v=0
這樣一來兩個公式的共同點就非常明顯了，ƒ-l+v所代表的數量隨着曲面的性質變化而變化，於是我們可以將上述兩個公式中的0和2稱之為「Euler數」。這個數所代表的是曲面的幾何性質，而當曲面變形時，此數不變。這種特別的幾何性質，我們就稱之為「拓撲性質」，而研究這種性質的學科，即幾何學的一種分支，也就是本課程的教學範圍-拓撲學。
拓撲學英文稱Topology，通俗稱謂橡皮幾何學，這一俗稱相信應可以給出一個生動形象的拓撲學研究對象的概念。
通過Euler多面體定理，我們對拓撲性質有了一個最初步的了解，那麼拓撲性質在拓撲學中如何闡釋並應用的呢？
首先，我們可以定義拓撲性質所體現的是幾何圖形作為一個整體所擁有的結構特性，在此基礎上只要不通過粘連等方式破壞一個幾何圖形的整體結構，我們對它進行任何類型的變形，如拉伸、扭曲等，都不會對其拓撲性質造成任何變化。這些不改變拓撲性質的變形動作，我們就可以稱之為拓撲變換。接下來，我們就可以試圖用數學的符號來說明拓撲性質和拓撲變換的關係。
假設我們用點集M指代一個圖形，經過變形的圖形標記為M'，在變換中，M與M'一一對應。那麼從M到M'的拓撲變換可以用函數ƒ: M→M'來表示，如果ƒ連續，便代表圖形變形中沒有撕裂。同理，從M'到M的反推則可以用ƒ-1: M'→M來表示，如果ƒ-1連續，便代表圖形變形中沒有粘連。
當確認了ƒ-1和ƒ都是連續的時候，我們就可以確認M和M'之間存在拓撲變換的關係，而ƒ即為此變換，因此M和M'是同胚的。這些同胚的圖形因拓撲性質的一致，在拓撲學中可以不加區別。
定義下列詞項：
- 拓撲性質
- 拓撲變換
- 同胚