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数学式的推导的可视化

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来自维基学院

这是一个尝试：将数学式的推导过程用图形表示出来，使其更加直观、易于理解和记忆。这种图形和表达式树类似。制作这种图形使用了BS-map（铁路系统标示）模板。

这种图形中有三个基本元素：数量、运算符和连接线。数量包括0、1、pi、e、x、y等已知数量或未知数量（可以是标量、向量或张量），用（BHF）表示。运算符包括+、-、*、/、e^、^2、d/dt、abs(、sqrt(、sin(、f(等已有的或自定义的运算符，用（HST）表示。连接线连接数量和运算符，把它们构成一棵“树”，代表一个数学式。“树”可以是自上而下展开的（top-down），也可以是自下而上展开的（bottom-up）。两棵“树”首尾相接，代表两个数学式相等。

基础

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数量

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1
1

这是一个点，也是最简单的“树”，它代表一个数量（这里是1）。

1=2
1
2

将两个点用一条竖线相连，就得到了两个数量之间的一个等式，如这个图形就表示“1=2”（当然，这是不正确的）。

加乘运算符

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1+1 1+1
+
1
1
1
1
+

这两棵“树”是表示加法的两种方法：自上而下展开的（top-down）和自下而上展开的（bottom-up）。运算符“+”出现在两个数量的上方（或下方），运算符和数量用连接线连在一起。这两棵“树”都表示“1+1”。

“1+1=2”的表示方法则是：

2=1+1 1+1=2
2
+
1
1
1
1
+
2

也有“先展开再收拢”的表示方法：

1+1=2
+
1
1
2

这种表示方法除了加法，还可以表示乘法。只要把运算符换成“*”即可。

加减乘除的更多表示方法展示在下面“简单运算的表示”中。

简单运算的表示

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加法

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top-down bottom-up
a+b
a+b
+
a
b
a
b
+
a+b
a+b+c
a+b+c
+
a
b...c
a
b...c
+
a+b+c
(a+b)+c
(a+b)+c
+
+
c
a
b
a
b
+
c
+
(a+b)+c
a+b+c+d
a+b+c+d
+
a...b
c...d
a...b
c...d
+
a+b+c+d
(a+b)+(c+d)
(a+b)+(c+d)
+
+
+
a...b
c...d
a...b
c...d
+
+
+
(a+b)+(c+d)
((a+b)+c)+d
((a+b)+c)+d
+
+
d
+
c
a
b
a
b
+
c
+
d
+
((a+b)+c)+d

运算定律

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加零 相反数相加 加法交换律 加法结合律
a
0
+
a
a
-a
+
0
a
b
+
+
b
a
b
c
a
+
+
+
+
c
a
b
+
a
b...c

减法

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同加法，只要把 b 换成 -b 即可。

乘法

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同加法，只要把 + 换成 * 即可。

运算定律

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乘零 乘一 倒数相乘 (a≠0) 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律
a
0
*
0
a
1
*
a
a
/a
*
1
a
b
*
*
b
a
b
c
a
*
*
*
*
c
a
b
*
a
b...c
b
c
a
+
*
+
*
*
a...b
a...c

除法

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同乘法，只要把 b 换成 /b 即可。

复合运算的简写

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平方和的开方 平方差的开方
sqrt(a^2+b^2+c^2)
sqrt(_^2+_^2+_^2)
a
b...c
sqrt(a^2-b^2)
sqrt(_^2-_^2)
a
b

函数

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任意函数 正弦函数
f(x)
f(
x
sinx
sin(
x

微分和导数

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top-down bottom-up
dx
dx
d
x
d
x
dx
dx/dt
dx/dt
d/dt
x
*
dx
/dt
d/dt
x
dx/dt
d^2x/dt^2
d^2x/dt^2
d^2/dt
x
d/dt
dx/dt
d/dt
x
d^2/dt^2
x
d^2x/dt~2

运算定律

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和的微分 积的微分
a
b
d
+
+
d...a
d...b
a
b
d
*
+
*
*
b
a
d...a
d...b
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