數學式的推導的可視化

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這是一個嘗試：將數學式的推導過程用圖形表示出來，使其更加直觀、易於理解和記憶。這種圖形和表達式樹類似。製作這種圖形使用了BS-map（鐵路系統標示）模板。

這種圖形中有三個基本元素：數量、運算符和連接線。數量包括0、1、pi、e、x、y等已知數量或未知數量（可以是標量、向量或張量），用（BHF）表示。運算符包括+、-、*、/、e^、^2、d/dt、abs(、sqrt(、sin(、f(等已有的或自定義的運算符，用（HST）表示。連接線連接數量和運算符，把它們構成一棵「樹」，代表一個數學式。「樹」可以是自上而下展開的（top-down），也可以是自下而上展開的（bottom-up）。兩棵「樹」首尾相接，代表兩個數學式相等。

基礎[編輯 | 編輯原始碼]

數量[編輯 | 編輯原始碼]

1
1

這是一個點，也是最簡單的「樹」，它代表一個數量（這裡是1）。

1=2
1
2

將兩個點用一條豎線相連，就得到了兩個數量之間的一個等式，如這個圖形就表示「1=2」（當然，這是不正確的）。

加乘運算符[編輯 | 編輯原始碼]

1+1 1+1
+
1
1
1
1
+

這兩棵「樹」是表示加法的兩種方法：自上而下展開的（top-down）和自下而上展開的（bottom-up）。運算符「+」出現在兩個數量的上方（或下方），運算符和數量用連接線連在一起。這兩棵「樹」都表示「1+1」。

「1+1=2」的表示方法則是：

2=1+1 1+1=2
2
+
1
1
1
1
+
2

也有「先展開再收攏」的表示方法：

1+1=2
+
1
1
2

這種表示方法除了加法，還可以表示乘法。只要把運算符換成「*」即可。

加減乘除的更多表示方法展示在下面「簡單運算的表示」中。

簡單運算的表示[編輯 | 編輯原始碼]

加法[編輯 | 編輯原始碼]

top-down bottom-up
a+b
a+b
+
a
b
a
b
+
a+b
a+b+c
a+b+c
+
a
b...c
a
b...c
+
a+b+c
(a+b)+c
(a+b)+c
+
+
c
a
b
a
b
+
c
+
(a+b)+c
a+b+c+d
a+b+c+d
+
a...b
c...d
a...b
c...d
+
a+b+c+d
(a+b)+(c+d)
(a+b)+(c+d)
+
+
+
a...b
c...d
a...b
c...d
+
+
+
(a+b)+(c+d)
((a+b)+c)+d
((a+b)+c)+d
+
+
d
+
c
a
b
a
b
+
c
+
d
+
((a+b)+c)+d

運算定律[編輯 | 編輯原始碼]

加零 相反數相加 加法交換律 加法結合律
a
0
+
a
a
-a
+
0
a
b
+
+
b
a
b
c
a
+
+
+
+
c
a
b
+
a
b...c

減法[編輯 | 編輯原始碼]

同加法，只要把 b 換成 -b 即可。

乘法[編輯 | 編輯原始碼]

同加法，只要把 + 換成 * 即可。

運算定律[編輯 | 編輯原始碼]

乘零 乘一 倒數相乘 (a≠0) 乘法交換律 乘法結合律 乘法分配律
a
0
*
0
a
1
*
a
a
/a
*
1
a
b
*
*
b
a
b
c
a
*
*
*
*
c
a
b
*
a
b...c
b
c
a
+
*
+
*
*
a...b
a...c

除法[編輯 | 編輯原始碼]

同乘法，只要把 b 換成 /b 即可。

複合運算的簡寫[編輯 | 編輯原始碼]

平方和的開方 平方差的開方
sqrt(a^2+b^2+c^2)
sqrt(_^2+_^2+_^2)
a
b...c
sqrt(a^2-b^2)
sqrt(_^2-_^2)
a
b

函數[編輯 | 編輯原始碼]

任意函數 正弦函數
f(x)
f(
x
sinx
sin(
x

微分和導數[編輯 | 編輯原始碼]

top-down bottom-up
dx
dx
d
x
d
x
dx
dx/dt
dx/dt
d/dt
x
*
dx
/dt
d/dt
x
dx/dt
d^2x/dt^2
d^2x/dt^2
d^2/dt
x
d/dt
dx/dt
d/dt
x
d^2/dt^2
x
d^2x/dt~2

運算定律[編輯 | 編輯原始碼]

和的微分 積的微分
a
b
d
+
+
d...a
d...b
a
b
d
*
+
*
*
b
a
d...a
d...b
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