静态分岔

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本章从确定性的非线性动力学方程组出发,先从最基础的单摆开始,简单介绍方程解的渐进行为。然后再看当控制参数发生变化时非线性系统的变化,即分岔理论的目的。我们这里先讲解静态分岔,突变理论与动态分岔在下一章节。

单摆运动[编辑 | 编辑源代码]

设有一个单摆,我们知道其运动方程为:(1.1)

那么,当的绝对值远小于1时,我们可以将方程1.1线性化为 (1.2)

通过振动力学的方式求解,得: (1.3)

设我们将初始的摆角扩大n倍,那么我们就有角,并有方程: (1.4)

上述解的基础都限于当 时,即趋于零时的情况,那么当其数值并不小的时候,我们如何去求解?

首先,我们已经知道单摆运动的角度不得超过5度,当大于5度时,我们首先可以确立两个条件:

  1. 提供了单摆的回复力。
  2. 当回复力愈大时,加速度愈大,振动周期愈小,因而可见振动与回复力大小关系。

自然而然的,我们就可以试图去求其精确解,可得谐振动方程如下:


(1.5)

而单摆的振动周期就可以明确为: (1.6)

我们将由位形变量和速度变量构成的空间称为状态空间,并可以用空间相图来展示系统的性态(有兴趣的可以自己试试,有利于理解相关概念)。

对方程1.5变形可得: (1.7)

为了解出方程1.7,我们需要关注其中一个变量

使用积分求出含有第一类椭圆积分的单摆周期公式,由机械能守恒定律可得方程式如下:

(1.8)

那么通过如上公式,我们就可以判断角移(1.9)

展开方程1.9,我们就会得到利用椭圆积分计算表示的单摆周期运动,将此展开后截取最早的两项,就可以得到新的运动方程:

(1.10)

再对方程1.8简写,就可以看到一个新的方程如下:

(1.11)

线性微分方程[编辑 | 编辑源代码]

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