靜態分岔

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本章從確定性的非線性動力學方程組出發,先從最基礎的單擺開始,簡單介紹方程解的漸進行為。然後再看當控制參數發生變化時非線性系統的變化,即分岔理論的目的。我們這裏先講解靜態分岔,突變理論與動態分岔在下一章節。

單擺運動[編輯 | 編輯原始碼]

設有一個單擺,我們知道其運動方程為:(1.1)

那麼,當的絕對值遠小於1時,我們可以將方程1.1線性化為 (1.2)

通過振動力學的方式求解,得: (1.3)

設我們將初始的擺角擴大n倍,那麼我們就有角,並有方程: (1.4)

上述解的基礎都限於當 時,即趨於零時的情況,那麼當其數值並不小的時候,我們如何去求解?

首先,我們已經知道單擺運動的角度不得超過5度,當大於5度時,我們首先可以確立兩個條件:

  1. 提供了單擺的回覆力。
  2. 當回復力愈大時,加速度愈大,振動周期愈小,因而可見振動與回復力大小關係。

自然而然的,我們就可以試圖去求其精確解,可得諧振動方程如下:


(1.5)

而單擺的振動周期就可以明確為: (1.6)

我們將由位形變量和速度變量構成的空間稱為狀態空間,並可以用空間相圖來展示系統的性態(有興趣的可以自己試試,有利於理解相關概念)。

對方程1.5變形可得: (1.7)

為了解出方程1.7,我們需要關注其中一個變量

使用積分求出含有第一類橢圓積分的單擺周期公式,由機械能守恆定律可得方程式如下:

(1.8)

那麼通過如上公式,我們就可以判斷角移(1.9)

展開方程1.9,我們就會得到利用橢圓積分計算表示的單擺周期運動,將此展開後截取最早的兩項,就可以得到新的運動方程:

(1.10)

再對方程1.8簡寫,就可以看到一個新的方程如下:

(1.11)

線性微分方程[編輯 | 編輯原始碼]

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