这是一个尝试:将数学式的推导过程用图形表示出来,使其更加直观、易于理解和记忆。这种图形和表达式树类似。制作这种图形使用了BS-map(铁路系统标示)模板。
这种图形中有三个基本元素:数量、运算符和连接线。数量包括0、1、pi、e、x、y等已知数量或未知数量(可以是标量、向量或张量),用
(BHF)表示。运算符包括+、-、*、/、e^、^2、d/dt、abs(、sqrt(、sin(、f(等已有的或自定义的运算符,用
(HST)表示。连接线连接数量和运算符,把它们构成一棵“树”,代表一个数学式。“树”可以是自上而下展开的(top-down),也可以是自下而上展开的(bottom-up)。两棵“树”首尾相接,代表两个数学式相等。
这是一个点,也是最简单的“树”,它代表一个数量(这里是1)。
将两个点用一条竖线相连,就得到了两个数量之间的一个等式,如这个图形就表示“1=2”(当然,这是不正确的)。
这两棵“树”是表示加法的两种方法:自上而下展开的(top-down)和自下而上展开的(bottom-up)。运算符“+”出现在两个数量的上方(或下方),运算符和数量用连接线连在一起。这两棵“树”都表示“1+1”。
“1+1=2”的表示方法则是:
也有“先展开再收拢”的表示方法:
这种表示方法除了加法,还可以表示乘法。只要把运算符换成“*”即可。
加减乘除的更多表示方法展示在下面“简单运算的表示”中。
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top-down
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bottom-up
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a+b
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a+b+c
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(a+b)+c
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a+b+c+d
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(a+b)+(c+d)
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|
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(a+b)+(c+d)
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+
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|
|
|
|
|
|
+
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|
+
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a...b
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c...d
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a...b
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c...d
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|
+
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|
+
|
|
|
|
|
|
+
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|
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|
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(a+b)+(c+d)
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((a+b)+c)+d
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((a+b)+c)+d
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+
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|
|
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|
|
+
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|
d
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|
|
+
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|
c
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|
a
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|
|
|
b
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|
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|
a
|
|
|
|
b
|
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|
|
|
|
+
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|
c
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|
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|
+
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|
|
d
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|
+
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((a+b)+c)+d
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加零 |
相反数相加 |
加法交换律 |
加法结合律
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|
b
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|
|
c
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|
|
a
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|
|
|
+
|
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|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
c
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|
|
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|
|
a
|
|
|
|
b
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+
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|
|
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|
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a
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|
|
|
b...c
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|
|
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|
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|
同加法,只要把 b 换成 -b 即可。
同加法,只要把 + 换成 * 即可。
乘零 |
乘一 |
倒数相乘 (a≠0) |
乘法交换律 |
乘法结合律 |
乘法分配律
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|
|
b
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|
|
|
c
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|
|
a
|
|
|
|
*
|
|
|
|
|
|
*
|
|
|
|
|
*
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*
|
|
|
|
c
|
|
|
|
|
|
a
|
|
|
|
b
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a
|
|
|
|
b...c
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b
|
|
|
|
c
|
|
|
|
|
|
a
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
|
*
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*
|
|
|
|
*
|
|
|
|
|
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a...b
|
|
|
|
a...c
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|
|
|
|
|
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|
同乘法,只要把 b 换成 /b 即可。
平方和的开方 |
平方差的开方
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sqrt(a^2+b^2+c^2)
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|
|
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|
sqrt(_^2+_^2+_^2)
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|
a
|
|
|
|
b...c
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sqrt(a^2-b^2)
|
|
|
|
|
|
sqrt(_^2-_^2)
|
|
|
|
|
a
|
|
|
|
b
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
top-down
|
bottom-up
|
dx
|
|
|
dx/dt
|
|
|
d^2x/dt^2
|
|
|
|
|
|
d^2x/dt^2
|
|
|
|
|
|
d^2/dt
|
|
|
|
x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d/dt
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx/dt
|
|
|
|
|
|
d/dt
|
|
|
|
x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
和的微分 |
积的微分
|
|
|
a
|
|
|
|
b
|
|
|
|
|
|
d
|
|
|
|
*
|
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*
|
|
|
|
*
|
|
|
|
|
|
b
|
|
|
|
a
|
d...a
|
|
|
|
d...b
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|