跳转到内容

数学式的推导的可视化

来自维基学院

这是一个尝试:将数学式的推导过程用图形表示出来,使其更加直观、易于理解和记忆。这种图形和表达式树类似。制作这种图形使用了BS-map(铁路系统标示)模板。

这种图形中有三个基本元素:数量运算符连接线。数量包括0、1、pi、e、x、y等已知数量或未知数量(可以是标量、向量或张量),用(BHF)表示。运算符包括+、-、*、/、e^、^2、d/dt、abs(、sqrt(、sin(、f(等已有的或自定义的运算符,用(HST)表示。连接线连接数量和运算符,把它们构成一棵“”,代表一个数学式。“树”可以是自上而下展开的(top-down),也可以是自下而上展开的(bottom-up)。两棵“树”首尾相接,代表两个数学式相等。

1
1

这是一个点,也是最简单的“树”,它代表一个数量(这里是1)。

1=2
1
2

将两个点用一条竖线相连,就得到了两个数量之间的一个等式,如这个图形就表示“1=2”(当然,这是不正确的)。

加乘运算符

[编辑 | 编辑源代码]
1+1 1+1
+
1
1
1
1
+

这两棵“树”是表示加法的两种方法:自上而下展开的(top-down)和自下而上展开的(bottom-up)。运算符“+”出现在两个数量的上方(或下方),运算符和数量用连接线连在一起。这两棵“树”都表示“1+1”。

“1+1=2”的表示方法则是:

2=1+1 1+1=2
2
+
1
1
1
1
+
2

也有“先展开再收拢”的表示方法:

1+1=2
+
1
1
2

这种表示方法除了加法,还可以表示乘法。只要把运算符换成“*”即可。

加减乘除的更多表示方法展示在下面“简单运算的表示”中。

简单运算的表示

[编辑 | 编辑源代码]
top-down bottom-up
a+b
a+b
+
a
b
a
b
+
a+b
a+b+c
a+b+c
+
a
b...c
a
b...c
+
a+b+c
(a+b)+c
(a+b)+c
+
+
c
a
b
a
b
+
c
+
(a+b)+c
a+b+c+d
a+b+c+d
+
a...b
c...d
a...b
c...d
+
a+b+c+d
(a+b)+(c+d)
(a+b)+(c+d)
+
+
+
a...b
c...d
a...b
c...d
+
+
+
(a+b)+(c+d)
((a+b)+c)+d
((a+b)+c)+d
+
+
d
+
c
a
b
a
b
+
c
+
d
+
((a+b)+c)+d

运算定律

[编辑 | 编辑源代码]
加零 相反数相加 加法交换律 加法结合律
a
0
+
a
a
-a
+
0
a
b
+
+
b
a
b
c
a
+
+
+
+
c
a
b
+
a
b...c

同加法,只要把 b 换成 -b 即可。

同加法,只要把 + 换成 * 即可。

运算定律

[编辑 | 编辑源代码]
乘零 乘一 倒数相乘 (a≠0) 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律
a
0
*
0
a
1
*
a
a
/a
*
1
a
b
*
*
b
a
b
c
a
*
*
*
*
c
a
b
*
a
b...c
b
c
a
+
*
+
*
*
a...b
a...c

同乘法,只要把 b 换成 /b 即可。

复合运算的简写

[编辑 | 编辑源代码]
平方和的开方 平方差的开方
sqrt(a^2+b^2+c^2)
sqrt(_^2+_^2+_^2)
a
b...c
sqrt(a^2-b^2)
sqrt(_^2-_^2)
a
b
任意函数 正弦函数
f(x)
f(
x
sinx
sin(
x

微分和导数

[编辑 | 编辑源代码]
top-down bottom-up
dx
dx
d
x
d
x
dx
dx/dt
dx/dt
d/dt
x
*
dx
/dt
d/dt
x
dx/dt
d^2x/dt^2
d^2x/dt^2
d^2/dt
x
d/dt
dx/dt
d/dt
x
d^2/dt^2
x
d^2x/dt~2

运算定律

[编辑 | 编辑源代码]
和的微分 积的微分
a
b
d
+
+
d...a
d...b
a
b
d
*
+
*
*
b
a
d...a
d...b