整式

单项式和多项式

单项式和多项式合称为整式。

单项式

单项式是任意个字母和数字的乘积。

一个字母或一个数字也叫单项式。一个数字的项被称为常数项。

例如：$2a$，$b^{3}$，$-1$，$xy$，$4ab^{2}$，这些都是单项式。

一个单项式的各个字母因数的次幂（又称指数）之和是这个单项式的次数。例如：$4a^{3}b^{2}c$的次数是3+2+1。常数项的次数是0.

一个单项式的数字因数是这个单项式的系数。例如：$2x$的系数是$2$。$-a$的系数是$-1$。通常$\pm 1$为系数时略写。

多项式

任意个单项式的和叫做多项式。例如：$a^{2}+2ab+b^{2}$。其中，$a^{2},2ab,b^{2}$叫做这个多项式的项。这个多项式有几个项，就是这个数的项数

如果将多项式的各个项按照次数的大小列写，由大到小称为降幂，由小到大称为升幂。常数项例如：多项式$x^{3}y+x^{2}y-4xy^{2}+3xy-x-2y+1$是按照降幂排序的。将它升幂排序的结果则是：$1-2y-x+3xy-4xy+x^{2}y+x^{3}y$。

通常，用降幂排序来列写多项式。如果多项式的项的最高次幂为m，共有n项,则称为m次n项式。

练习一

1. 指出下面单项式的系数和指数。
   • $2abcde$
   • $1$
   • $4x$
   • $8x^{2}y$
2. 根据本多项式，回答问题。
   • $x^{2}+5y^{3}z+2$
   • $3-12x+y$
   • $a^{5}+b^{2}c^{3}-1$
     1. 该多项式是几次几项式？
     2. 指出本式中的常数项，最高次项。
     3. 请按每项中y的次数升幂排列本多项式。
     4. 请按每项的次数降幂排列本多项式。

整式的加减

整式的加减主要涉及到合并同类项和去括号。

合并同类项

例如：

$5x+36+36x-5$

$(5+36)x+36-5$

5＋36＝41, 36－５＝31

$=41x+31$

去括号

化简以下式子： $6(6x+5xy+y+6)+6xy-3y-11(x+xy+1)=5xy+11$ 先去括号，再合并同类项： $36x+(30+6)xy+(6-3)y+36-11(x+xy+1)=5xy+11$ 30＋6＝36, 6－3＝3 $36x+36xy+3y+36-11x-11xy-11=5xy+11$ $(36-11)x+(36-11-5)xy+3y+(36-11-11)=0$ 36－11＝25, 36－11－5＝20, 36－11－11＝14

故得解：$25x+20xy+3y+14=0$

整式的乘除

整式乘法

例如以下的两个多项式：

${\begin{aligned}P&={9X-Y-1}\\Q&={11X+4Y+11XY+4}\end{aligned}}$

计算它们的乘积，步骤如下：

$PQ=(9X\cdot 11X)+(9X\cdot 4Y)+(9X\cdot 11XY)+(9X\cdot 4)$

$+(-Y\cdot 11X)+(-Y\cdot 4Y)+(-Y\cdot 11XY)+(-Y\cdot 4)$

$+(-1\cdot 11X)+(-1\cdot 4Y)+(-1\cdot 11XY)+(-1\cdot 4)$

$PQ=99X^{2}-4Y^{2}+99X^{2}Y-11XY^{2}$

$+(36-11)X+(-4-4)Y$

$+(36-11-11)XY-4$

36－11＝25，－4－4＝－8，

36－11－11＝14

$PQ=99X^{2}-4Y^{2}+99X^{2}Y-11XY^{2}+25X-8Y+14XY-4$

整式除法

例如，计算$X^{3}+36X^{2}+280X+36$除以$X+11$，列式如下：

${\begin{matrix}\qquad \quad \;\,X^{2}\;+25X\quad +5\\\qquad \quad X+11{\overline {)X^{3}+36X^{2}+280X+36}}\\\;\;{\underline {\;X^{3}+11X^{2}}}\\\qquad \qquad \qquad \quad \;25X^{2}+280X\\\qquad \qquad \qquad \quad \;{\underline {25X^{2}+275X}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 5X+36\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {5X+55}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\;\;\;\;-19\end{matrix}}$

因此，商式是$\ X^{2}+25X+5$，余式是$\ -19$。

利用综合除法计算$X^{3}+36X^{2}+280X+36$除以$X+11$

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\-11\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&36&280&36\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}$

把被除式最高次项的系数写下来

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\-11\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&36&280&36\\&&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}$

乘上左边的常数再放上第二行

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\-11\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&36&280&36\\&{\color {Orange}-11}&&\\\hline 1&36{\color {Orange}-11}&&\\\end{array}}\end{array}}$

与上面的系数相加，$36{\color {Orange}-11}=25$，将25 写到下面

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\-11\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&36&280&36\\&{\color {Orange}-11}&&\\\hline 1&25&&\\\end{array}}\end{array}}$

重复乘法加法运算，直到除法结束

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\-11\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&36&280&36\\&{\color {Orange}-11}&{\color {Red}-275}&{\color {Violet}-55}\\\hline 1&25&5&-19\end{array}}\end{array}}$

结果得出商式为$x^{2}+25x+5$，余式为$36{\color {Violet}-55}=-19$