单项式和多项式

单项式和多项式合称为整式。

单项式

单项式是任意个字母和数字的乘积。

一个字母或一个数字也叫单项式。一个数字的项被称为常数项。

例如： $2 a$ ， $b^{3}$ ， $- 1$ ， $x y$ ， $4 a b^{2}$ ，这些都是单项式。

一个单项式的各个字母因数的次幂（又称指数）之和是这个单项式的次数。例如： $4 a^{3} b^{2} c$ 的次数是3+2+1。常数项的次数是0.

一个单项式的数字因数是这个单项式的系数。例如： $2 x$ 的系数是 $2$ 。 $- a$ 的系数是 $- 1$ 。通常 $\pm 1$ 为系数时略写。

多项式

任意个单项式的和叫做多项式。例如： $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 。其中， $a^{2}, 2 a b, b^{2}$ 叫做这个多项式的项。这个多项式有几个项，就是这个数的项数

如果将多项式的各个项按照次数的大小列写，由大到小称为降幂，由小到大称为升幂。常数项例如：多项式 $x^{3} y + x^{2} y - 4 x y^{2} + 3 x y - x - 2 y + 1$ 是按照降幂排序的。将它升幂排序的结果则是： $1 - 2 y - x + 3 x y - 4 x y + x^{2} y + x^{3} y$ 。

通常，用降幂排序来列写多项式。如果多项式的项的最高次幂为m，共有n项,则称为m次n项式。

练习一

指出下面单项式的系数和指数。
- $2 a b c d e$
- $1$
- $4 x$
- $8 x^{2} y$
根据本多项式，回答问题。
- $x^{2} + 5 y^{3} z + 2$
- $3 - 12 x + y$
- a5+b2c3−1
  1. 该多项式是几次几项式？
  2. 指出本式中的常数项，最高次项。
  3. 请按每项中y的次数升幂排列本多项式。
  4. 请按每项的次数降幂排列本多项式。

整式的加减

整式的加减主要涉及到合并同类项和去括号。

合并同类项

例如：

$5 x + 36 + 36 x - 5$

$(5 + 36) x + 36 - 5$

5＋36＝41, 36－５＝31

$= 41 x + 31$

去括号

化简以下式子： $6 (6 x + 5 x y + y + 6) + 6 x y - 3 y - 11 (x + x y + 1) = 5 x y + 11$ 先去括号，再合并同类项： $36 x + (30 + 6) x y + (6 - 3) y + 36 - 11 (x + x y + 1) = 5 x y + 11$ 30＋6＝36, 6－3＝3 $36 x + 36 x y + 3 y + 36 - 11 x - 11 x y - 11 = 5 x y + 11$ $(36 - 11) x + (36 - 11 - 5) x y + 3 y + (36 - 11 - 11) = 0$ 36－11＝25, 36－11－5＝20, 36－11－11＝14

故得解： $25 x + 20 x y + 3 y + 14 = 0$

整式的乘除

整式乘法

例如以下的两个多项式：

\begin{matrix} P & = 9 X - Y - 1 \\ Q & = 11 X + 4 Y + 11 X Y + 4 \end{matrix}

计算它们的乘积，步骤如下：

P Q = (9 X \cdot 11 X) + (9 X \cdot 4 Y) + (9 X \cdot 11 X Y) + (9 X \cdot 4)

+ (- Y \cdot 11 X) + (- Y \cdot 4 Y) + (- Y \cdot 11 X Y) + (- Y \cdot 4)

+ (- 1 \cdot 11 X) + (- 1 \cdot 4 Y) + (- 1 \cdot 11 X Y) + (- 1 \cdot 4)

P Q = 99 X^{2} - 4 Y^{2} + 99 X^{2} Y - 11 X Y^{2}

+ (36 - 11) X + (- 4 - 4) Y

+ (36 - 11 - 11) X Y - 4

36－11＝25，－4－4＝－8，

36－11－11＝14

P Q = 99 X^{2} - 4 Y^{2} + 99 X^{2} Y - 11 X Y^{2} + 25 X - 8 Y + 14 X Y - 4

整式除法

例如，计算 $X^{3} + 36 X^{2} + 280 X + 36$ 除以 $X + 11$ ，列式如下：

\begin{matrix} X^{2} + 25 X + 5 \\ X + 11 \overline{) X^{3} + 36 X^{2} + 280 X + 36} \\ \underline{X^{3} + 11 X^{2}} \\ 25 X^{2} + 280 X \\ \underline{25 X^{2} + 275 X} \\ 5 X + 36 \\ \underline{5 X + 55} \\ - 19 \end{matrix}

因此，商式是 $X^{2} + 25 X + 5$ ，余式是 $- 19$ 。

利用综合除法计算 $X^{3} + 36 X^{2} + 280 X + 36$ 除以 $X + 11$

\begin{matrix} \begin{matrix} - 11 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 36 & 280 & 36 \end{matrix} \end{matrix}

把被除式最高次项的系数写下来

\begin{matrix} \begin{matrix} - 11 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 36 & 280 & 36 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}

乘上左边的常数再放上第二行

\begin{matrix} \begin{matrix} - 11 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 36 & 280 & 36 \\ - 11 \\ 1 & 36 - 11 \end{matrix} \end{matrix}

与上面的系数相加， $36 - 11 = 25$ ，将25 写到下面

\begin{matrix} \begin{matrix} - 11 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 36 & 280 & 36 \\ - 11 \\ 1 & 25 \end{matrix} \end{matrix}

重复乘法加法运算，直到除法结束

\begin{matrix} \begin{matrix} - 11 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 36 & 280 & 36 \\ - 11 & - 275 & - 55 \\ 1 & 25 & 5 & - 19 \end{matrix} \end{matrix}

结果得出商式为 $x^{2} + 25 x + 5$ ，余式为 $36 - 55 = - 19$