已知 n = p q , p , q ∈ Z , p , q ≠ ± 1 {\displaystyle n=pq,p,q\in \mathbb {Z} ,p,q\neq \pm 1}
如果能给出三元不定方程： 4 x ( x − y ) ( x + z ) + y 2 ( y + z − x ) = n , 2 x − y ≠ ± 1 , 2 x − y ≠ ± n {\displaystyle 4x(x-y)(x+z)+y^{2}(y+z-x)=n,2x-y\neq \pm 1,2x-y\neq \pm n} 之一组整数解(x,y,z)，
则n能分解为： p = 2 x − y , q = n / p {\displaystyle p=2x-y,q=n/p}
如果 n = p q {\displaystyle n=pq}
则椭圆曲线： x 3 + ( y − 1 ) x 2 − ( 4 y + 4 ) x + 4 + 4 y − n = 0 {\displaystyle x^{3}+(y-1)x^{2}-(4y+4)x+4+4y-n=0} 存在李煌解:
( x = 2 − p , y = ( p − 1 ) ( p − 4 ) + q p ) {\displaystyle {\bigg (}x=2-p,y={\frac {(p-1)(p-4)+q}{p}}{\bigg )}} 和
( x = 2 − q , y = ( q − 1 ) ( q − 4 ) + p q ) {\displaystyle {\bigg (}x=2-q,y={\frac {(q-1)(q-4)+p}{q}}{\bigg )}}
https://zh.wikipedia.org/wiki/椭圆曲线
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之一组整数解(x,y,z)，
存在李煌解:
和
