一元四次方程式

一元四次方程式解法計算機

解法

階段一：變形去除三次項

1.$a{t}^4+b{t}^3+c{t}^2+dt+e=0\Rightarrow$ 以 $t=x-\frac{b}{4a}$ 代入

2.得 $x^4+p{x}^2+qx+r=0$，令其四根為 $x_1,x_2,x_3,x_4$

階段二：變身為三次方程式

3.由 $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)=0$ 可得$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_3+x_4=0\\ x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_3{x}_4=p\\ x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+x_1{x}_3{x}_4+x_2{x}_3{x}_4=-q\\ x_1{x}_2{x}_3{x}_4=r\end{array}$

4.

設$\{\begin{array}{c}{y}_1=(x_1+x_2)(x_3+x_4)\\ y_2=(x_1+x_3)(x_2+x_4)\\ y_3=(x_1+x_4)(x_2+x_3)\end{array}$	則	$\{\begin{array}{c}{y}_1+y_2+y_3=2p\\ y_1{y}_2+y_1{y}_3+y_2{y}_3=p^2-4r\\ y_1{y}_2{y}_3=-q^2\end{array}$	注意： $y_1,y_2,y_3$ 對 $x$ 而言是 2 次 $p$ 對 $x$ 而言是 2 次 $p^2,r$ 對 $x$ 而言是 4 次 $q^2$ 對 $x$ 而言是 6 次

5.故 $y_1,y_2,y_3$ 為 $y^3-2p{y}^2+(p^2-4r)y+q^2=0$ 的三根，
此方程式對 $x$ 而言是 6 次，其四項對 $x$ 而言分別是 0+6 次、 2+4 次、 4+2 次、 6+0 次。

階段三：以三次方程式之三根求四次方程式之四根

6.$\because (x_1+x_2)+(x_3+x_4)=0,(x_1+x_2)(x_3+x_4)=y_1\therefore (x_1+x_2),(x_3+x_4)$為$w^2+y_1=0$之二根，$(x_1+x_2)=\sqrt{-y_1}$ 或 $(x_1+x_2)=-\sqrt{-y_1}$

7.設$(x_1+x_2)=\sqrt{-y_1},(x_3+x_4)=-\sqrt{-y_1}$(此有另一種解，判斷方法補充於最後)

8.同理，可得$\{\begin{array}{c}(x_1+x_2)=\sqrt{-y_1},(x_3+x_4)=-\sqrt{-y_1}\\ (x_1+x_3)=\sqrt{-y_2},(x_2+x_4)=-\sqrt{-y_2}\\ (x_1+x_4)=\sqrt{-y_3},(x_2+x_3)=-\sqrt{-y_3}\end{array}$

9.解聯立方程式，得$\{\begin{array}{c}{x}_1=\frac{1}{2}(\sqrt{-y_1}+\sqrt{-y_2}+\sqrt{-y_3})\\ x_2=\frac{1}{2}(\sqrt{-y_1}-\sqrt{-y_2}-\sqrt{-y_3})\\ x_3=\frac{1}{2}(-\sqrt{-y_1}+\sqrt{-y_2}-\sqrt{-y_3})\\ x_4=\frac{1}{2}(-\sqrt{-y_1}-\sqrt{-y_2}+\sqrt{-y_3})\end{array}$

補充一：

在步驟 7 中，若假設 $(x_1+x_2)=\sqrt{-y_1},(x_3+x_4)=-\sqrt{-y_1}$ 則需確認 $\sqrt{-y_1}\times \sqrt{-y_2}\times \sqrt{-y_3}=-q$

否則需假設 $(x_1+x_2)=-\sqrt{-y_1},(x_3+x_4)=\sqrt{-y_1}$ 即滿足 $-\sqrt{-y_1}\times \sqrt{-y_2}\times \sqrt{-y_3}=-q$

補充二：

在步驟 4 中，$y_1{y}_2+y_1{y}_3+y_2{y}_3+4r=p^2+(x_1+x_2+x_3+x_4)\times (x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+x_1{x}_3{x}_4+x_2{x}_3{x}_4)$，兩邊展開化簡後得 $y_1{y}_2+y_1{y}_3+y_2{y}_3+4r=p^2\therefore y_1{y}_2+y_1{y}_3+y_2{y}_3=p^2-4r$
且$\begin{array}{cc}{y}_1{y}_2{y}_3+q^2=& (x_1+x_2+x_3+x_4)\times [x_1{x}_2{x}_3(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)+x_1{x}_2{x}_4(x_1{x}_2+x_1{x}_4+x_2{x}_4)\\ & +x_1{x}_3{x}_4(x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_3{x}_4)+x_2{x}_3{x}_4(x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_3{x}_4)+2x_1{x}_2{x}_3{x}_4(x_1+x_2+x_3+x_4)]\end{array}$
，兩邊展開化簡後得 $y_1{y}_2{y}_3+q^2=0\therefore y_1{y}_2{y}_3=-q^2$

例題

例題一

題目：$x^4-22x^2-48x-23=0$

1. $p=-22,q=-48,r=-23$ 則 $-2p=44,p^2-4r=576,q^2=2304$
2. $y_1,y_2,y_3$ 為 $y^3+44y^2+576y+2304=0$ 的三根
3. $\because (y+8)(y+12)(y+24)=0\therefore y_1=-8,y_2=-12,y_3=-24$
4. $\therefore$

   $x_1=\frac{1}{2}(\sqrt{8}+\sqrt{12}+\sqrt{24})=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}$

   $x_2=\frac{1}{2}(\sqrt{8}-\sqrt{12}-\sqrt{24})=\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}$

   $x_3=\frac{1}{2}(-\sqrt{8}+\sqrt{12}-\sqrt{24})=-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}$

   $x_4=\frac{1}{2}(-\sqrt{8}-\sqrt{12}+\sqrt{24})=-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{6}$

例題二

題目：$x^4-22x^2+48x-23=0$

1. $p=-22,q=48,r=-23$ 則 $-2p=44,p^2-4r=576,q^2=2304$
2. $y_1,y_2,y_3$ 為 $y^3+44y^2+576y+2304=0$ 的三根
3. $\because (y+8)(y+12)(y+24)=0\therefore y_1=-8,y_2=-12,y_3=-24$
   (到此之前除了 q 之外其他與例題一一模一樣)
4. 但是因為 $\sqrt{8}\times \sqrt{12}\times \sqrt{24}=48\ne -q$，因此不可取 $x_1+x_2=\sqrt{-y_1}$，應該取 $x_1+x_2=-\sqrt{-y_1}$。
   再驗證一下：$-\sqrt{8}\times \sqrt{12}\times \sqrt{24}=-48=-q$，所以是正確的。
5. $\therefore$

   $x_1=\frac{1}{2}(-\sqrt{8}+\sqrt{12}+\sqrt{24})=-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}$

   $x_2=\frac{1}{2}(-\sqrt{8}-\sqrt{12}-\sqrt{24})=-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}$

   $x_3=\frac{1}{2}(\sqrt{8}+\sqrt{12}-\sqrt{24})=\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}$

   $x_4=\frac{1}{2}(\sqrt{8}-\sqrt{12}+\sqrt{24})=\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{6}$

例題三

題目：$x^4-2x^2+1=0$

1. $p=-2,q=0,r=1$ 則 $-2p=4,p^2-4r=0,q^2=0$
2. $y_1,y_2,y_3$ 為 $y^3+4y^2=0$ 的三根
3. $y_1=0,y_2=0,y_3=-4\therefore \sqrt{-y_1}=0,\sqrt{-y_2}=0,\sqrt{-y_3}=2$
4. $\therefore$

   $x_1=\frac{1}{2}(0+0+2)=1$

   $x_2=\frac{1}{2}(0-0-2)=-1$

   $x_3=\frac{1}{2}(-0+0-2)=-1$

   $x_4=\frac{1}{2}(-0-0+2)=1$

例題四

題目：$x^4-(h^2+k^2)x^2+h^2{k}^2=0$

1. $p=-(h^2+k^2),q=0,r=h^2{k}^2$ 則 $-2p=2(h^2+k^2),p^2-4r=(h^2-k^2{)}^2,q^2=0$
2. $y_1,y_2,y_3$ 為 $y^3+2(h^2+k^2)y^2+(h^2-k^2{)}^{2}y=0$ 的三根，$y_1=0$
3. $y_2,y_3$ 為 $y^2+2(h^2+k^2)y+(h^2-k^2{)}^2=0$ 的兩根
4. $y_2=-(h+k{)}^2,y_3=-(h-k{)}^2\therefore \sqrt{-y_1}=0,\sqrt{-y_2}=h+k,\sqrt{-y_3}=h-k$
5. $\therefore$

   $x_1=\frac{1}{2}[0+(h+k)+(h-k)]=h$

   $x_2=\frac{1}{2}[0-(h+k)-(h-k)]=-h$

   $x_3=\frac{1}{2}[-0+(h+k)-(h-k)]=k$

   $x_4=\frac{1}{2}[-0-(h+k)+(h-k)]=-k$

例題五

題目：$x^4-3x^2-2x=0$

1. $p=-3,q=-2,r=0$ 則 $-2p=6,p^2-4r=9,q^2=4$
2. $y_1,y_2,y_3$ 為 $y^3+6y^2+9y+4=0$ 的三根
3. $\because (y+4)(y+1)(y+1)=0\therefore y_1=-4,y_2=-1,y_3=-1\therefore \sqrt{-y_1}=2,\sqrt{-y_2}=1,\sqrt{-y_3}=1$
4. $\therefore$

   $x_1=\frac{1}{2}(2+(1)+(1))=2$

   $x_2=\frac{1}{2}(2-(1)-(1))=0$

   $x_3=\frac{1}{2}(-2+(1)-(1))=-1$

   $x_4=\frac{1}{2}(-2-(1)+(1))=-1$

例題六

題目：$x^4-7x^2-6x=0$

1. $p=-7,q=-6,r=0$ 則 $-2p=14,p^2-4r=49,q^2=36$
2. $y_1,y_2,y_3$ 為 $y^3+14y^2+49y+36=0$ 的三根
3. $\because (y+9)(y+4)(y+1)=0\therefore y_1=-9,y_2=-4,y_3=-1\therefore \sqrt{-y_1}=3,\sqrt{-y_2}=2,\sqrt{-y_3}=1$
4. $\therefore$

   $x_1=\frac{1}{2}(3+2+1)=3$

   $x_2=\frac{1}{2}(3-2-1)=0$

   $x_3=\frac{1}{2}(-3+2-1)=-1$

   $x_4=\frac{1}{2}(-3-2+1)=-2$

例題七

題目：$x^4-1=0$

1. $p=0,q=0,r=-1$ 則 $-2p=0,p^2-4r=4,q^2=0$
2. $y_1,y_2,y_3$ 為 $y^3+4y=0$ 的三根
3. $\because (y)(y+2i)(y-2i)=0\therefore y_1=0,y_2=-2i,y_3=2i\therefore \sqrt{-y_1}=0,\sqrt{-y_2}=1+i,\sqrt{-y_3}=1-i$
4. $\therefore$

   $x_1=\frac{1}{2}(0+(1+i)+(1-i))=1$

   $x_2=\frac{1}{2}(0-(1+i)-(1-i))=-1$

   $x_3=\frac{1}{2}(-0+(1+i)-(1-i))=i$

   $x_4=\frac{1}{2}(-0-(1+i)+(1-i))=-i$

參見

• 一元三次方程式