院系:李煌數學研究院/N次代數方程研究

（一）

構造：

代數方程 $x^{n} + {(\frac{\sqrt{p + 4} - \sqrt{p}}{2})}^{\frac{n - 2}{n}} x = \frac{1}{p^{\frac{n}{2 n - 2}}}$ 存在李煌根式解形式 $x = {(\frac{{(\sqrt{p + 4} - \sqrt{p})}^{2}}{4 p^{\frac{n}{2 n - 2}}})}^{\frac{1}{n}}, p > 0, p \in ℝ \lor p = - 1$ $x = \frac{{(\frac{{(\sqrt{p + 4} - \sqrt{p})}^{2}}{4 p^{\frac{n}{2 n - 2}}})}^{\frac{1}{n}}}{\cos (\frac{2 π}{n}) + i s i n (\frac{2 π}{n})}, p < 0, p \neq - 1, p \in ℝ$

（二）

已知 $a^{n} + b^{n} = c^{n}$

則代數方程 $x^{n} + \frac{b^{n} x}{a c^{(n - 1)^{2}}} = c^{2 n - n^{2}}$ 之解滿足 $x = \frac{a}{c^{n - 1}}$

（三）

代數方程 $x^{n} + p x = {q (\frac{1 - p q^{y - 1}}{q^{y n - 1}})}^{\frac{1}{n - 1}}$ 有解 $x = {q^{y} (\frac{1 - p q^{y - 1}}{q^{y n - 1}})}^{\frac{1}{n - 1}}$

（四）

代數方程 $x^{n} + x + 1 = 0, n ≠ 2$ 之所有根（實根，復根）必須滿足三角方程 $\arcsin (2 \sqrt{x^{n - 2}}) + 2 \arcsin (\sqrt{- x^{n - 1}}) = π$

與三角方程 $2 \arcsin \sqrt{- x} + \arcsin 2 \sqrt{x^{1 + n}} = π$ 兩者之壹，但不能同時滿足.

代數方程 $x^{n} + x^{n - 1} + 1 = 0$ 之所有根（實根，復根）必須滿足三角方程 $\arcsin (\frac{2}{\sqrt{x^{n + 1}}}) + 2 \arcsin (\sqrt{\frac{1}{- x}}) = π$

與三角方程 $2 \arcsin (\sqrt{- x^{n - 1}}) + \arcsin (2 \sqrt{x^{2 n - 1}}) = π$ 兩者之壹,但不能同時滿足.

代數方程 $x^{n} + x + q = 0, q > 0$ 之 實數根 必須滿足三角方程

$2 \arcsin (\sqrt{\frac{- x}{q}}) = \arcsin (\frac{2 \sqrt{x^{n + 1}}}{q})$ 或者滿足三角方程

$2 \arcsin (\sqrt{\frac{- x}{q}}) + \arcsin (\frac{2 \sqrt{x^{n + 1}}}{q}) = π$

代數方程 $x^{n} + x + q = 0, q < 0$ 之 實數根 必須滿足三角方程

$2 \arcsin (\sqrt{\frac{- x}{q}}) = \arcsin (\frac{2 \sqrt{x^{n + 1}}}{- q})$ 或者滿足三角方程

$2 \arcsin (\sqrt{\frac{- x}{q}}) + \arcsin (\frac{2 \sqrt{x^{n + 1}}}{- q}) = π$

代數方程 $x^{n} + q x + 1 = 0, q > 0$ 之 實數根 必須滿足三角方程

$2 \arcsin (\sqrt{\frac{- x^{n - 1}}{q}}) = \arcsin (\frac{2 \sqrt{x^{n - 2}}}{q})$ 或者滿足三角方程

$2 \arcsin (\sqrt{\frac{- x^{n - 1}}{q}}) + \arcsin (\frac{2 \sqrt{x^{n - 2}}}{q}) = π$

代數方程 $x^{n} + q x + 1 = 0, q < 0$ 之 實數根 必須滿足三角方程

$2 \arcsin (\sqrt{\frac{- x^{n - 1}}{q}}) = \arcsin (\frac{2 \sqrt{x^{n - 2}}}{- q})$ 或者滿足三角方程

$2 \arcsin (\sqrt{\frac{- x^{n - 1}}{q}}) + \arcsin (\frac{2 \sqrt{x^{n - 2}}}{- q}) = π$

（五）

代數方程 $x^{n} + x + 1 = 0$ 與代數方程 $x^{2 n - 1} + x^{n - 1} - x - 1 = 0$ 有公共解
代數方程 $x^{n} + x + 1 = 0$ 與代數方程 $x^{2 n} + x^{n + 1} - x - 1 = 0$ 有公共解
代數方程 $x^{n} + x + 1 = 0$ 與代數方程 $x^{n + 1} - x^{n} + x^{2} - 1 = 0$ 有公共解

（六）

代數方程 $x^{n} + p x + q = 0$ 之解爲x,

李煌方程 $y^{n} - p y^{n - 1} = (- q)^{n - 1}$ 之解爲y

則兩個方程之解滿足關係 $y = x^{n - 1} + p$

（七）

已知： $2 ∤ n$

代數方程 $x^{n} + p x + q = 0$ 之解爲x,

方程 $y^{n} + p^{n} y = p^{n} q$ 之解爲y

則兩個方程之解滿足關係： $y = x^{n} + q$

（八）

已知： $2 ∤ n, n \geq 1$

則方程 $B^{n - 1} x^{n + 1} + (B^{n} + A^{n}) x^{n} + B^{n} A^{n} = 0$ 一定存在一個解 $x = - B$

（九）

$x^{3} + p x^{2} + q = 0$ 必然存在李煌解形式:

$x = p (y^{2} - 1)$ 其中y滿足方程 $y^{3} - y + \sqrt{\frac{- q}{p^{3}}} = 0$

（十）

方程 $y^{6} + y = 1$ 之部分根y滿足 $y = x^{\frac{1}{3}}$

其中x滿足方程 $x^{6} - 3 x^{4} + 3 x^{2} + x - 1 = 0$

來源（據稱）

《南昌理工學院學報》.李煌

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