院系:李煌數學研究院/N次代數方程研究

（一）

構造：

代數方程$x^{n}+{{({\frac {{\sqrt {p+4}}-{\sqrt {p}}}{2}})}^{\frac {n-2}{n}}}x={\frac {1}{p^{\frac {n}{2n-2}}}}$存在李煌根式解形式 $x=\left({\frac {{({\sqrt {p+4}}-{\sqrt {p}})}^{2}}{4p^{\frac {n}{2n-2}}}}\right)^{\frac {1}{n}},p>0,p\in \mathbb {R} \lor p=-1$ $x={\frac {\left({\frac {{({\sqrt {p+4}}-{\sqrt {p}})}^{2}}{4p^{\frac {n}{2n-2}}}}\right)^{\frac {1}{n}}}{\cos({\frac {2\pi }{n}})+isin({\frac {2\pi }{n}})}},p<0,p\neq -1,p\in \mathbb {R}$

（二）

已知$a^{n}+b^{n}=c^{n}$

則代數方程$x^{n}+{\frac {b^{n}x}{ac^{(n-1)^{2}}}}=c^{2n-n^{2}}$之解 滿足$x={\frac {a}{c^{n-1}}}$

（三）

代數方程$x^{n}+px={q({\frac {1-pq^{y-1}}{q^{yn-1}}})}^{\frac {1}{n-1}}$ 有解 $x={q^{y}({\frac {1-pq^{y-1}}{q^{yn-1}}})}^{\frac {1}{n-1}}$

（四）

• 代數方程$x^{n}+x+1=0,n\not =2$之所有根（實根，復根）必須滿足三角方程$\arcsin {(2{\sqrt {x^{n-2}}})}+2\arcsin {({\sqrt {-x^{n-1}}})}=\pi$

與三角方程$2\arcsin {\sqrt {-x}}+\arcsin {2{\sqrt {x^{1+n}}}}=\pi$兩者之壹，但不能同時滿足.

• 代數方程$x^{n}+x^{n-1}+1=0$之所有根（實根，復根）必須滿足三角方程$\arcsin {({\frac {2}{\sqrt {x^{n+1}}}})}+2\arcsin {({\sqrt {\frac {1}{-x}}})}=\pi$

與三角方程$2\arcsin {({\sqrt {-x^{n-1}}})}+\arcsin {(2{\sqrt {x^{2n-1}}})}=\pi$兩者之壹,但不能同時滿足.

• 代數方程$x^{n}+x+q=0,q>0$之 實數根 必須滿足三角方程

$2\arcsin {({\sqrt {\frac {-x}{q}}})}=\arcsin {({\frac {2{\sqrt {x^{n+1}}}}{q}})}$ 或者滿足三角方程

$2\arcsin {({\sqrt {\frac {-x}{q}}})}+\arcsin {({\frac {2{\sqrt {x^{n+1}}}}{q}})}=\pi$

• 代數方程$x^{n}+x+q=0,q<0$之 實數根 必須滿足三角方程

$2\arcsin {({\sqrt {\frac {-x}{q}}})}=\arcsin {({\frac {2{\sqrt {x^{n+1}}}}{-q}})}$或者滿足三角方程

$2\arcsin {({\sqrt {\frac {-x}{q}}})}+\arcsin {({\frac {2{\sqrt {x^{n+1}}}}{-q}})}=\pi$

• 代數方程$x^{n}+qx+1=0,q>0$之 實數根 必須滿足三角方程

$2\arcsin {({\sqrt {\frac {-x^{n-1}}{q}}})}=\arcsin {({\frac {2{\sqrt {x^{n-2}}}}{q}})}$ 或者滿足三角方程

$2\arcsin {({\sqrt {\frac {-x^{n-1}}{q}}})}+\arcsin {({\frac {2{\sqrt {x^{n-2}}}}{q}})}=\pi$

• 代數方程$x^{n}+qx+1=0,q<0$之 實數根 必須滿足三角方程

$2\arcsin {({\sqrt {\frac {-x^{n-1}}{q}}})}=\arcsin {({\frac {2{\sqrt {x^{n-2}}}}{-q}})}$或者滿足三角方程

$2\arcsin {({\sqrt {\frac {-x^{n-1}}{q}}})}+\arcsin {({\frac {2{\sqrt {x^{n-2}}}}{-q}})}=\pi$

（五）

• 代數方程$x^{n}+x+1=0$ 與代數方程$x^{2n-1}+x^{n-1}-x-1=0$有公共解
• 代數方程$x^{n}+x+1=0$ 與代數方程$x^{2n}+x^{n+1}-x-1=0$有公共解
• 代數方程$x^{n}+x+1=0$ 與代數方程$x^{n+1}-x^{n}+x^{2}-1=0$有公共解

（六）

代數方程$x^{n}+px+q=0$之解爲x,

李煌方程$y^{n}-py^{n-1}=(-q)^{n-1}$之解爲y

則兩個方程之解滿足關係$y=x^{n-1}+p$

（七）

已知：$2\nmid n$

代數方程$x^{n}+px+q=0$之解爲x,

方程$y^{n}+{p^{n}}y={p^{n}}q$之解爲y

則兩個方程之解滿足關係： $y=x^{n}+q$

（八）

已知：$2\nmid n,n\geq 1$

則方程$B^{n-1}x^{n+1}+{(B^{n}+A^{n})}x^{n}+{B^{n}{A^{n}}}=0$一定存在一個解$x=-B$

（九）

$x^{3}+px^{2}+q=0$必然存在李煌解形式:

$x=p(y^{2}-1)$ 其中y滿足方程$y^{3}-y+{\sqrt {\frac {-q}{p^{3}}}}=0$

（十）

方程$y^{6}+y=1$之部分根y滿足$y=x^{\frac {1}{3}}$

其中x滿足方程$x^{6}-3x^{4}+3x^{2}+x-1=0$

來源（據稱）

• 《南昌理工學院學報》.李煌

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