微積分

微積分ui5-khip4-hun是一門現代數學，真濟科技需要因。

數列極限

無窮數列或有極限。

反導函數和積分

一個函數$f(x)$的反導函數(英語：Antiderivative,antiderivativus)是$F^{\prime }(x)=f(x)$的所有$F(x)$。

求反導函數

求反導函數的過程稱為積分。

反導公式

$\begin{array}{cc}functio& antiderivativus\\ cf(x)& cF(x)+c\\ f(x)+g(x)& F(x)+G(x)+c\\ x^n(n\ne -1)& \frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+c\\ x^{-1}& \ln |x|+c\\ e^x& e^x+c\\ \cos x& \sin x+c\\ \sin x& -\cos x+c\\ {\sec }^{2}x& \tan x+c\\ \tan x\sec x& \sec x+c\\ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}& \arcsin x+c\\ \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}& \arccos x+c\\ \frac{1}{1+x^2}& \arctan x+c\end{array}$

例題：基本微分公式帶入

1. $\int 10x^4-2{\sec }^{2}xdx$
2. $\int \frac{\cos \theta }{{\sin }^2\theta }d\theta$
3. $\int \frac{1}{\sin t\cos t}dt$
4. $\int \frac{1}{{\sin }^{3}t\cos t}dt$
5. $\int x^{\frac{3}{5}}+x^{\pi }+x^{-\frac{5}{2}}dx$
6. $\int \frac{e^{2x}-1}{e^x-1}dx$

解：

積分技巧

積分沒有如微分的連鎖律，因此ㄅ

變數變換 the Substitution

• $\int \tan xdx\text{, let u= }\cos x,du=-\sin xdx$
• $\int 2x\sqrt{1+x^2}dx$
• $\int \sqrt{1+2x}dx$
• $\int \frac{x}{\sqrt{1-4x^2}}dx$
• 變數再變換：$\int \frac{x^3}{(4x^2+9{)}^{\frac{3}{2}}}dx$設分母為u。

分部積分

利用微分時的$d(fg)=fdg+gdf$可以得$\int fdg=fg-\int gdf$。

三角代換法

令 $\sqrt{a^2-x^2}\doteq \sin x$，${\displaystyle }$

半角置換法

利用三角公式中的萬能(化tan)公式，

部分分式法

主條目：w:有理函數 § 部分分式

真有理分式可以化成部分分式再行積分。

• $\int \frac{x^3+x}{x-1}dx$：先將假分式換成真分式 (假分數化帶分數)。
• $\int \frac{5x^2+20x+6}{x^3-x}dx$