微積分

微积分ui5-khip4-hun是一门现代数学，真济科技需要因。

数列极限

无穷数列或有极限。

反导函数和积分

一个函数$f(x)$的反导函数(英语：Antiderivative,antiderivativus)是$F'(x)=f(x)$的所有$F(x)$。

求反导函数

求反导函数的过程称为积分。

反导公式

${\begin{matrix}functio&antiderivativus\\cf(x)&cF(x)+c\\f(x)+g(x)&F(x)+G(x)+c\\x^{n}(n\neq -1)&{\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+c\\x^{-1}&\ln |x|+c\\e^{x}&e^{x}+c\\\cos x&\sin x+c\\\sin x&-\cos x+c\\\sec ^{2}x&\tan x+c\\\tan x\sec x&\sec x+c\\{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}&\arcsin x+c\\{\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\arccos x+c\\{\frac {1}{1+x^{2}}}&\arctan x+c\end{matrix}}$

例题：基本微分公式带入

1. $\int 10x^{4}-2\sec ^{2}xdx$
2. $\int {\frac {\cos \theta }{\sin ^{2}\theta }}d\theta$
3. $\int {\frac {1}{\sin t\cos t}}dt$
4. $\int {\frac {1}{\sin ^{3}t\cos t}}dt$
5. $\int x^{\frac {3}{5}}+x^{\pi }+x^{-{\frac {5}{2}}}dx$
6. $\int {\frac {e^{2x}-1}{e^{x}-1}}dx$

解：

积分技巧

积分没有如微分的连锁律，因此ㄅ

变数变换 the Substitution

• $\int \tan xdx{\text{, let u= }}\cos x,\ du=-\sin xdx$
• $\int 2x{\sqrt {1+x^{2}}}dx$
• $\int {\sqrt {1+2x}}dx$
• $\int {\frac {x}{\sqrt {1-4x^{2}}}}dx$
• 变数再变换：$\int {\frac {x^{3}}{(4x^{2}+9)^{\frac {3}{2}}}}dx$设分母为u。

分部积分

利用微分时的$d(fg)=fdg+gdf$可以得$\int fdg=fg-\int gdf$。

三角代换法

令 ${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\doteq \sin x$，${\displaystyle }$

半角置换法

利用三角公式中的万能(化tan)公式，

部分分式法

主条目：w:有理函数 § 部分分式

真有理分式可以化成部分分式再行积分。

• $\int {\frac {x^{3}+x}{x-1}}dx$：先将假分式换成真分式 (假分数化带分数)。
• $\int {\frac {5x^{2}+20x+6}{x^{3}-x}}dx$