三角形數

三角形數是可以排成三角形的數。

前幾個三角形數是（ A000217） 1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91。

性質

• 第n個三角形數的公式是${\frac {n(n+1)}{2}}$。
• 第n個三角形數是從1開始的n個自然數的和。
• 三角形數的兩倍可以表示連續兩個數的積，也是普洛尼克數。
• 開始的n個立方數的和是第n個三角形數的平方（舉例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10²）
• 所有大於3的三角形數都不是質數。
• 三角形數的數字根一定是1、3、6、9。
• 三角形數的個位數字一定是0、1、3、5、6、8。

特殊的三角形數

• 55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形數。
• 28、2,278、222,778、22,227,778……都是三角形數。
• 第11個三角形數（66）、第1111個三角形數（617,716）、第111,111個三角形數（6,172,882,716）、第11,111,111個三角形數（61,728,399,382,716）都是回文式的三角形數，但第111個、第11,111個和第1,111,111個三角形數不是。

它和其他數的關係

• 所有的偶完全數都是三角形數。
• 三角平方數是同時為三角形數和平方數的數。
• 三角形數屬於一種多邊形數。

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Arithmetic series, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Triangular numbers at cut-the-knot
• There exist triangular numbers that are also square at cut-the-knot
• 埃里克·韋斯坦因. Triangular Number. MathWorld. 
• Triangular numbers via 12 days of Christmas by Vi Hart
• Hypertetrahedral Polytopic Roots by Rob Hubbard, including the generalisation to triangular cube roots, some higher dimensions, and some approximate formulae