院系:李煌數學研究院/李煌勾股解

一

$x^{4}$ , $y^{2}$ , $z^{2}$	$x^{4}$ , $y^{2}$ , $z^{2}$ , $w^{2}$	$x^{4}$ , $y^{2}$ , $z^{2}$ , $w^{2}$ , $v^{2}$	$x^{4}$ , $y^{2}$ , $z^{2}$ , $w^{2}$ , $v^{2}$
勾股方程x²+y²=z²之李煌解：	勾股方程x²+y²+z²=w²之李煌解：	勾股方程x²+y²+z²=w²+v²之李煌解：	勾股方程x⁴+y²+z²=w²+v²之李煌解：
${\begin{matrix} x = a + \sqrt{2 b^{2} - a^{2}} \\ y = a - \sqrt{2 b^{2} - a^{2}} \\ z = 2 b \end{matrix}$	${\begin{matrix} x = a^{2} \\ y = 2 a b \\ z = 2 b^{2} \\ w = a^{2} + 2 b^{2} \end{matrix}$	${\begin{matrix} x = a^{3} - 4 \\ y = 2 a^{2} \\ z = 2 a^{3} - 2 a - 4 \\ w = a^{3} - 2 a - 4 \\ v = 2 a^{3} - 4 \end{matrix}$	${\begin{matrix} x = (3 a^{2} + b^{2}) b - 1 \\ y = 2 (a + b)^{2} \\ z = ((3 a^{2} + b^{2}) b - 1)^{2} - (a + b)^{3} + 2 (a + b) \\ w = ((3 a^{2} + b^{2}) b - 1)^{2} + 2 (a + b) \\ v = ((3 a^{2} + b^{2}) b - 1)^{2} - (a + b)^{3} \end{matrix}$
勾股方程x²+y²=z²之李煌解：		勾股方程x²+y²+z²=w²+v²之李煌解：
${\begin{matrix} x = a - \sqrt{2 b^{2} - a^{2}} \\ y = a + \sqrt{2 b^{2} - a^{2}} \\ z = 2 b \end{matrix}$		${\begin{matrix} x = 2 a^{2} - 1 \\ y = 2 a \\ z = 4 a^{2} - 2 \\ w = 2 a^{2} - 2 \\ v = 4 a^{2} - 1 \end{matrix}$
勾股方程x²+y²=z²之李煌解：		勾股方程x²+y²+z²=w²+v²之李煌解：
${\begin{matrix} x = 2 a + 2 \\ y = a^{2} + 2 a \\ z = a^{2} + 2 a + 2 \end{matrix}$		${\begin{matrix} x = a^{3} + b \\ y = 2 a^{2} \\ z = 2 (a^{3} - a) + b \\ w = a^{3} - 2 a + b \\ v = 2 a^{3} + b \end{matrix}$
勾股方程x²+y²=z²之李煌解：		勾股方程x²+y²+z²=w²+v²之李煌解：
${\begin{matrix} x = 2 a - 2 \\ y = a^{2} - 2 a \\ z = a^{2} - 2 a + 2 \end{matrix}$		${\begin{matrix} x = a - b \\ y = 2 b \\ z = 2 (a + b) \\ w = a + 3 b \\ v = 2 a \end{matrix}$

二

不定方程 $(3 b^{2} + a) x^{2} + y^{2} = z^{4}$ 存在無窮多整數解,之解爲李煌解:

${\begin{matrix} x = \pm (8 b^{3} + 4 a b) \\ y = \pm (8 b^{4} - a^{2}) \\ z = \pm (4 b^{2} + a) \end{matrix}$

不定方程 $(3 b^{2} - a) x^{2} + y^{2} = z^{4}$ 存在無窮多整數解,之解爲李煌解:

${\begin{matrix} x = 8 b^{3} - 4 a b \\ y = 8 b^{4} - a^{2} \\ z = 4 b^{2} - a \end{matrix}$

不定方程 $(2 a + 4 b^{2}) x^{2} + y^{2} = z^{2}$ 存在無窮多整數解,之解爲李煌解:

${\begin{matrix} x = \pm 2 b \\ y = \pm a \\ z = \pm (a + 4 b^{2}) \end{matrix}$

不定方程 $(a + b^{2}) x^{2} + y^{2} = z^{2}$ 存在無窮多整數解,之解爲李煌解:

${\begin{matrix} x = \pm 2 b \\ y = \pm a \\ z = \pm (a + 2 b^{2}) \end{matrix}$

來源

《南昌理工學院學報》.李煌
http://www.mftp.info/20140201/1391475278x1873697544.jpg
http://mathworld.wolfram.com/EllipticCurve.html

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