院系:李煌數學研究院/費馬大定理之研究

一

代數方程$x^{n}+px=q$一定存在解

$x={\bigg (}{\frac {p(m-s)}{s}}{\bigg )}^{\frac {1}{n-1}}$

其中m,p,q,s滿足方程

$m^{n}p^{n}=s^{n}q^{(n-1)}+m^{(n-1)}sp^{n}$

二

定理：如果$a^{n}+b^{n}=1$ 成立

則 $b^{n+1}={{\bigg (}{a^{n}}{b^{\frac {n+1}{n}}}+b^{\frac {n^{2}+n+1}{n}}{\bigg )}}^{n}$成立

三

已知：$2\nmid n,n\geq 1$

則李煌方程$x^{n+1}+{(k+A^{n-1})}x^{n}+{k^{n}{A^{n-1}}}=0$一定存在一個解$x=-k$

四

恆等式

$(a^{n^{2}}b^{n+1})^{\frac {1}{n}}={({(a^{n}-b^{n})}^{n}b^{n+1})}^{\frac {1}{n}}+{(b^{n^{2}+n+1})}^{\frac {1}{n}}$

六

已知$A,B,C\in \mathbb {Z}$使得$A+B=C$

若橢圓曲線(Frey Curve)：$y^{2}=x\left(x-A\right)\left(x+B\right)$存在解(m,n)，則可以等價變換為兩條橢圓曲線

• 則橢圓曲線(LH Curve)：$Y^{2}=X^{3}+{(C-m)}X^{2}-A^{2}{X}+A^{2}(m-C)$
• 則橢圓曲線(LH Curve)：$Y^{2}=X^{3}-{(C+m)}X^{2}-B^{2}{X}+B^{2}(m+C)$

七

已知$A,B,C\in \mathbb {Z}$使得$A+B=C$

若橢圓曲線(Frey Curve)：$y^{2}=x\left(x-A\right)\left(x+B\right)$存在整數解(x,y)，

則解(x,y)必須滿足李煌條件：$(2x-A)\mid (4y^{2}+A^{2}(C-x))$

則解(x,y)必須滿足李煌條件：$(2x+B)\mid (4y^{2}-B^{2}(C+x))$

七

當 n=3k+1 時

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$

則：$\Longleftrightarrow {(4yz^{2})}^{3n}+{({(4xz^{2})}^{n}+{(4z^{3})}^{n})}^{3}=2^{6k+3}{z^{3n}}{(3{(4xz^{2})}^{2n}+{(4z^{3})}^{2n})}$

當 n=3k+2 時

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$

則：$\Longleftrightarrow {(2yz^{2})}^{3n}+{({(2xz^{2})}^{n}+{(2z^{3})}^{n})}^{3}=2^{3k+3}{z^{3n}}{(3{(2xz^{2})}^{2n}+{(2z^{3})}^{2n})}$

八

• 費馬曲線$a^{n}+b^{n}=c^{n},2\nmid n$ 可以等價變換為兩條李煌橢圓曲線

LH橢圓曲線:$y^{2}=x^{3}+b^{6n}+6a^{2n}b^{4n}-b^{3n}+{(9a^{4n}+3a^{n})}b^{2n}-3a^{2n}b^{n}+a^{3n}+1$

之解 $x={(-c)}^{n},y=b^{n}{(b^{2n}+3a^{2n})-1}$

LH橢圓曲線:$y^{2}=x^{3}+a^{6n}+6b^{2n}a^{4n}-a^{3n}+{(9b^{4n}+3b^{n})}a^{2n}-3b^{2n}a^{n}+b^{3n}+1$

• 費馬曲線：$a^{n}+b^{n}=c^{n},2\mid n$ 可以等價變換為兩條李煌橢圓曲線

LH橢圓曲線:$x^{3}=y^{2}+(a^{n}-b^{n})^{2}c^{n}$

LH橢圓曲線:$y^{2}=x(x+a^{n}-b^{n})(x+b^{n}-a^{n})$

九

• ${\Big (}3a^{2}\pm {\sqrt {12ab^{3}-3a^{4}}}{\Big )}^{3}={\Big (}-3a^{2}\pm {\sqrt {12ab^{3}-3a^{4}}}{\Big )}^{3}+(6ab)^{3}\,$

  $b\neq 0\,$

• ${\Bigg (}5a\pm {\sqrt {-25a^{2}\pm 10{\sqrt {5a^{4}+{\frac {20b^{5}}{a}}}}}}{\Bigg )}^{5}={\Bigg (}-5a\pm {\sqrt {-25a^{2}\pm 10{\sqrt {5a^{4}+{\frac {20b^{5}}{a}}}}}}{\Bigg )}^{5}+{(10b)}^{5}\,$

  $a\neq 0,b\neq 0\,$

十

• $z^{6}{(6y^{4}+2x^{4})}=x^{4},xyz\neq 0,x\neq y,x\neq -y$不存在整數解
• $z^{3}{(6y^{4}+2x^{4})}^{2}=x^{2},xyz\neq 0,x\neq y,x\neq -y$不存在整數解
• $6y^{4}+2x^{4}=x^{4}z^{3},xyz\neq 0,x\neq y,x\neq -y$不存在整數解

推論：x=z時，則$6y^{4}+2x^{4}=x^{7},xy\neq 0,x\neq y,x\neq -y$不存在整數解

• $3y^{4}+x^{12}=4z^{3},xyz\neq 0,y\neq x^{3},y\neq -x^{3}$不存在整數解
• ${(6y^{4}+2x^{4})}^{2}=x^{2}z^{6},xyz\neq 0,x\neq y,x\neq -y$不存在整數解
• ${(9x^{4}+y^{4}+6{y^{2}}{x^{2})}}=16y^{4}z^{6},xyz\neq 0,x\neq y$不存在整數解
• $z^{3}{(9x^{4}+y^{4}+6{y^{2}}{x^{2})}}=16y^{4},xyz\neq 0,x\neq y$不存在整數解
• $3x^{2}+y^{2}=256y^{8}z^{3},xyz\neq 0,x\neq y$不存在整數解
• $z^{6}{(3x^{2}+y^{2})}=256y^{8},xyz\neq 0,x\neq y$不存在整數解
• $x^{3}=y^{2}+3$不存在 $y=4k^{3}$形式的整數解
• $x^{3}=3y^{2}+16z^{6},xyz\neq 0,y\neq 4z^{3}$不存在整數解

參考

http://mathworld.wolfram.com/EllipticCurve.html

來源

• 《南昌理工學院學報》.李煌

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