院系:李煌數學研究院/費馬大定理之研究

一

代數方程 $x^{n}+px=q$ 一定存在解

$x={\bigg (}{\frac {p(m-s)}{s}}{\bigg )}^{\frac {1}{n-1}}$

其中m,p,q,s滿足方程

$m^{n}p^{n}=s^{n}q^{(n-1)}+m^{(n-1)}sp^{n}$

定理：如果 $a^{n}+b^{n}=1$ 成立

則 $b^{n+1}={{\bigg (}{a^{n}}{b^{\frac {n+1}{n}}}+b^{\frac {n^{2}+n+1}{n}}{\bigg )}}^{n}$ 成立

已知： $2\nmid n,n\geq 1$

則李煌方程 $x^{n+1}+{(k+A^{n-1})}x^{n}+{k^{n}{A^{n-1}}}=0$ 一定存在一個解 $x=-k$

恆等式

$(a^{n^{2}}b^{n+1})^{\frac {1}{n}}={({(a^{n}-b^{n})}^{n}b^{n+1})}^{\frac {1}{n}}+{(b^{n^{2}+n+1})}^{\frac {1}{n}}$

已知 $A,B,C\in \mathbb {Z}$ 使得 $A+B=C$

若橢圓曲線(Frey Curve)： $y^{2}=x\left(x-A\right)\left(x+B\right)$ 存在解(m,n)，則可以等價變換為兩條橢圓曲線

已知 $A,B,C\in \mathbb {Z}$ 使得 $A+B=C$

若橢圓曲線(Frey Curve)： $y^{2}=x\left(x-A\right)\left(x+B\right)$ 存在整數解(x,y)，

則解(x,y)必須滿足李煌條件： $(2x-A)\mid (4y^{2}+A^{2}(C-x))$

則解(x,y)必須滿足李煌條件： $(2x+B)\mid (4y^{2}-B^{2}(C+x))$

當 n=3k+1 時

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$

則： $\Longleftrightarrow {(4yz^{2})}^{3n}+{({(4xz^{2})}^{n}+{(4z^{3})}^{n})}^{3}=2^{6k+3}{z^{3n}}{(3{(4xz^{2})}^{2n}+{(4z^{3})}^{2n})}$

當 n=3k+2 時

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$

則： $\Longleftrightarrow {(2yz^{2})}^{3n}+{({(2xz^{2})}^{n}+{(2z^{3})}^{n})}^{3}=2^{3k+3}{z^{3n}}{(3{(2xz^{2})}^{2n}+{(2z^{3})}^{2n})}$

LH橢圓曲線: $y^{2}=x^{3}+b^{6n}+6a^{2n}b^{4n}-b^{3n}+{(9a^{4n}+3a^{n})}b^{2n}-3a^{2n}b^{n}+a^{3n}+1$

之解 $x={(-c)}^{n},y=b^{n}{(b^{2n}+3a^{2n})-1}$

LH橢圓曲線: $y^{2}=x^{3}+a^{6n}+6b^{2n}a^{4n}-a^{3n}+{(9b^{4n}+3b^{n})}a^{2n}-3b^{2n}a^{n}+b^{3n}+1$

LH橢圓曲線: $x^{3}=y^{2}+(a^{n}-b^{n})^{2}c^{n}$

LH橢圓曲線: $y^{2}=x(x+a^{n}-b^{n})(x+b^{n}-a^{n})$

${\Big (}3a^{2}\pm {\sqrt {12ab^{3}-3a^{4}}}{\Big )}^{3}={\Big (}-3a^{2}\pm {\sqrt {12ab^{3}-3a^{4}}}{\Big )}^{3}+(6ab)^{3}\,$
$b\neq 0\,$
${\Bigg (}5a\pm {\sqrt {-25a^{2}\pm 10{\sqrt {5a^{4}+{\frac {20b^{5}}{a}}}}}}{\Bigg )}^{5}={\Bigg (}-5a\pm {\sqrt {-25a^{2}\pm 10{\sqrt {5a^{4}+{\frac {20b^{5}}{a}}}}}}{\Bigg )}^{5}+{(10b)}^{5}\,$
$a\neq 0,b\neq 0\,$