院系:李煌數學研究院/三元高次丟番圖方程之研究

李煌定理

• $z^{6}{(6y^{4}+2x^{4})}=x^{4},xyz\neq 0,x\neq y,x\neq -y$不存在整數解
• $z^{3}{(6y^{4}+2x^{4})}^{2}=x^{2},xyz\neq 0,x\neq y,x\neq -y$不存在整數解
• $6y^{4}+2x^{4}=x^{4}z^{3},xyz\neq 0,x\neq y,x\neq -y$不存在整數解

推論：x=z時，則$6y^{4}+2x^{4}=x^{7},xy\neq 0,x\neq y,x\neq -y$不存在整數解

• $3y^{4}+x^{12}=4z^{3},xyz\neq 0,y\neq x^{3},y\neq -x^{3}$不存在整數解
• ${(6y^{4}+2x^{4})}^{2}=x^{2}z^{6},xyz\neq 0,x\neq y,x\neq -y$不存在整數解
• ${(9x^{4}+y^{4}+6{y^{2}}{x^{2})}}=16y^{4}z^{6},xyz\neq 0,x\neq \pm y$不存在整數解
• $z^{3}{(9x^{4}+y^{4}+6{y^{2}}{x^{2})}}=16y^{4},xyz\neq 0,x\neq \pm y$不存在整數解
• $3x^{2}+y^{2}=256y^{8}z^{3},xyz\neq 0$不存在整數解

推論：y=z時，則$3x^{2}+y^{2}=256y^{11},xy\neq 0$不存在整數解

• $z^{6}{(3x^{2}+y^{2})}=256y^{8},xyz\neq 0$不存在整數解
• $x^{3}=3y^{2}+16z^{6},xyz\neq 0,y\neq 4z^{3}$不存在整數解

推論：$x^{3}=y^{2}+3$不存在 $y=4k^{3}$形式的整數解

推廣：

• $x^{3}=y^{2}+3z^{4},xyz\neq 0,z\neq 0$不存在 $y=4k^{3}$形式的整數解
• $x^{3}=3y^{2}+1024z^{30},xyz\neq 0,y\neq 32z^{15}$不存在整數解
• $z^{3}=64x^{6}+3y^{2}-24x^{3}y,y\neq 0$不存在整數解
• $z^{3}=2^{24}x^{66}+3y^{2}-2^{12}({3x^{33})}y,y\neq 0$不存在整數解

參考文獻

[1]

來源

• 《南昌理工學院學報》.李煌
• http://www.mftp.info/20140202/1392101138x1873735091.jpg

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