拓扑空间

来自维基学院
跳到导航 跳到搜索
 >拓扑学主页 >拓扑空间

在引论中,我们使用了欧氏几何的定理来阐述拓扑学的大体概念,然而拓扑学不仅仅研究存在于欧氏几何中的形体,因此在这一讲中,我们将会介绍拓扑空间的一些知识。

概述[编辑 | 编辑源代码]

假设有一个非空集合X,它的幂集是2x,即为X所有子集的集合。这个幂集的子集则称之为X的子集族。

若我们称X的一个子集族τ为X的一个拓扑,并规定它满足以下几个条件:X本身和空集都被τ所包含;τ的任意成员的并集被τ所包含;τ中有限多的成员的交集被τ所包含。这样的情况下,我们就可以把X和其拓扑τ称拓扑空间,写作(X,τ),τ便为此空间的开集。在此条件下我们可以看出,给出X的拓扑即为规定X的子集中的开集。

由于一个集合可以规定多个拓扑,称呼一个拓扑空间不但需要指出集合,并且要指出是此集合的哪一个拓扑。上述的例子中,2x构成了X的拓扑,我们可以称之为X的离散拓扑;同时X规定了{X,}也是其拓扑,可以称之为X的平凡拓扑。

接下去再看看一些常见的拓扑:

  1. 设有无穷集合X以及其有限子集A,τƒ={Ac}{},这个条件下τƒ就是X的余有限拓扑。
  2. 设有不可数无穷集合X以及其可数子集A,τc={Ac}{},这个条件下τc就是X的余可数拓扑。
  3. 如果我们有实数的集合R以及数个开区间的并集U,并规定τe={U},那么当∈τe,τe就是R上的一个拓扑,我们可以称之为R的欧式拓扑,其拓扑空间为E1=(R,τe)。

度量拓扑[编辑 | 编辑源代码]

在拓扑空间中,当我们为集合X定义了一个度量,那么就可以称之为度量空间。设我们规定了一个度量d,此度量空间即为(X,d)。度量d是X的一个映射,我们这里先写作d:X·X→R,它需要满足下列条件:

  • d(x,y)=0, ∀x∈X;当x≠y,d(x,y)>0
  • d(x,y)=d(y,x),∀x,y∈X
  • d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z),∀x,y∈X

设Rn={(x1,x2,···,xn)|x∈R,i=1,2,···,n},那么我们规定其度量d为:d((x1,x2,···,xn),(y1,y2,···,yn)) = 我们可以看出这一度量满足上述条件,是Rn的映射。如此以来就可以将这个度量空间记作:En=(Rn,d),即n维欧氏空间。

拓扑公理[编辑 | 编辑源代码]

在上面我们曾说过τ为X的拓扑需要满足的条件,这几个条件我们称之为拓扑公理:

  1. )X和空集都被τ所包含。
  2. )τ中任意多个成员的并集也被τ所包含。
  3. )τ中有限多个成员的交集也被τ所包含。

接下来我们利用度量拓扑简单体现一下三种公理的应用。设有度量空间(X,d),为规定X的拓扑,设有x0∈X,并有正数ε。那么X的子集就可以写作:

B(x0,ε) := {x∈X|d(x0,x)<ε}
Wikiversity zh Topology img01.png

利用图形来表示,则可以说此为x0为圆心、ε为半径的球形领域。

闭集[编辑 | 编辑源代码]

在之前说欧式空间、度量空间是都曾提到过闭集的概念,我们现在假设有拓扑空间中有子集为闭集,那么就是开集。在这个语境中,我们可以看到闭集就是一个开集的余集,反之亦然。而分析其他的情况,例如我们可以看到离散拓扑空间中任何子集都是开集,因而任何子集也是闭集。在看如果我们有平凡拓扑空间X,那么其中就有两个闭集。如此一来,在中,闭集可以是有限集或者就是X;在中,闭集则可以是可数集或是X。