拓撲空間

在引論中，我們使用了歐氏幾何的定理來闡述拓撲學的大體概念，然而拓撲學不僅僅研究存在於歐氏幾何中的形體，因此在這一講中，我們將會介紹拓撲空間的一些知識。

概述

假設有一個非空集合X，它的冪集是2^x，即為X所有子集的集合。這個冪集的子集則稱之為X的子集族。

若我們稱X的一個子集族τ為X的一個拓撲，並規定它滿足以下幾個條件：X本身和空集 $\varnothing$ 都被τ所包含；τ的任意成員的併集被τ所包含；τ中有限多的成員的交集被τ所包含。這樣的情況下，我們就可以把X和其拓撲τ稱拓撲空間，寫作(X,τ)，τ便為此空間的開集。在此條件下我們可以看出，給出X的拓撲即為規定X的子集中的開集。

由於一個集合可以規定多個拓撲，稱呼一個拓撲空間不但需要指出集合，並且要指出是此集合的哪一個拓撲。上述的例子中，2^x構成了X的拓撲，我們可以稱之為X的離散拓撲；同時X規定了{X, $\varnothing$ }也是其拓撲，可以稱之為X的平凡拓撲。

接下去再看看一些常見的拓撲：

設有無窮集合X以及其有限子集A，τ_ƒ={A^c} $\cup$ { $\varnothing$ }，這個條件下τ_ƒ就是X的余有限拓撲。
設有不可數無窮集合X以及其可數子集A，τ_c={A^c} $\cup$ { $\varnothing$ }，這個條件下τ_c就是X的余可數拓撲。
如果我們有實數的集合R以及數個開區間的併集U，並規定τ_e={U}，那麼當 $\varnothing$ ∈τ_e，τ_e就是R上的一個拓撲，我們可以稱之為R的歐式拓撲，其拓撲空間為E¹=(R,τ_e)。

度量拓撲

在拓撲空間中，當我們為集合X定義了一個度量，那麼就可以稱之為度量空間。設我們規定了一個度量d，此度量空間即為(X,d)。度量d是X的一個映射，我們這裏先寫作d:X·X→R，它需要滿足下列條件：

d(x,y)=0, ∀x∈X；當x≠y，d(x,y)>0
d(x,y)=d(y,x)，∀x,y∈X
d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)，∀x,y∈X

設Rⁿ={(x₁,x₂,···,x_n)|x∈R,i=1,2,···,n}，那麼我們規定其度量d為：d((x₁,x₂,···,x_n),(y₁,y₂,···,y_n)) = ${\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i},y_{i})^{2}}}$ 我們可以看出這一度量滿足上述條件，是Rⁿ的映射。如此以來就可以將這個度量空間記作：Eⁿ=(Rⁿ,d)，即n維歐氏空間。

拓撲公理

在上面我們曾說過τ為X的拓撲需要滿足的條件，這幾個條件我們稱之為拓撲公理：

）X和空集 $\varnothing$ 都被τ所包含。
）τ中任意多個成員的併集也被τ所包含。
）τ中有限多個成員的交集也被τ所包含。

接下來我們利用度量拓撲簡單體現一下三種公理的應用。設有度量空間(X,d)，為規定X的拓撲，設有x₀∈X，並有正數ε。那麼X的子集就可以寫作：

B(x₀,ε) := {x∈X|d(x₀,x)<ε}

利用圖形來表示，則可以說此為x₀為圓心、ε為半徑的球形領域。

閉集

在之前說歐式空間、度量空間是都曾提到過閉集的概念，我們現在假設有拓撲空間 $X$ 中有子集 $A$ 為閉集，那麼 $A^{c}$ 就是開集。在這個語境中，我們可以看到閉集就是一個開集的余集，反之亦然。而分析其他的情況，例如我們可以看到離散拓撲空間中任何子集都是開集，因而任何子集也是閉集。在看如果我們有平凡拓撲空間X，那麼其中就有兩個閉集 $X=\varnothing ^{c}$ 和 $\varnothing =X^{c}$ 。如此一來，在 $(R,\tau _{f})$ 中，閉集可以是有限集或者就是X；在 $(R,\tau _{c})$ 中，閉集則可以是可數集或是X。