拓撲空間

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在引論中,我們使用了歐氏幾何的定理來闡述拓撲學的大體概念,然而拓撲學不僅僅研究存在於歐氏幾何中的形體,因此在這一講中,我們將會介紹拓撲空間的一些知識。

概述[編輯 | 編輯原始碼]

假設有一個非空集合X,它的冪集是2x,即為X所有子集的集合。這個冪集的子集則稱之為X的子集族。

若我們稱X的一個子集族τ為X的一個拓撲,並規定它滿足以下幾個條件:X本身和空集都被τ所包含;τ的任意成員的並集被τ所包含;τ中有限多的成員的交集被τ所包含。這樣的情況下,我們就可以把X和其拓撲τ稱拓撲空間,寫作(X,τ),τ便為此空間的開集。在此條件下我們可以看出,給出X的拓撲即為規定X的子集中的開集。

由於一個集合可以規定多個拓撲,稱呼一個拓撲空間不但需要指出集合,並且要指出是此集合的哪一個拓撲。上述的例子中,2x構成了X的拓撲,我們可以稱之為X的離散拓撲;同時X規定了{X,}也是其拓撲,可以稱之為X的平凡拓撲。

接下去再看看一些常見的拓撲:

  1. 設有無窮集合X以及其有限子集A,τƒ={Ac}{},這個條件下τƒ就是X的余有限拓撲。
  2. 設有不可數無窮集合X以及其可數子集A,τc={Ac}{},這個條件下τc就是X的余可數拓撲。
  3. 如果我們有實數的集合R以及數個開區間的並集U,並規定τe={U},那麼當∈τe,τe就是R上的一個拓撲,我們可以稱之為R的歐式拓撲,其拓撲空間為E1=(R,τe)。

度量拓撲[編輯 | 編輯原始碼]

在拓撲空間中,當我們為集合X定義了一個度量,那麼就可以稱之為度量空間。設我們規定了一個度量d,此度量空間即為(X,d)。度量d是X的一個映射,我們這裡先寫作d:X·X→R,它需要滿足下列條件:

  • d(x,y)=0, ∀x∈X;當x≠y,d(x,y)>0
  • d(x,y)=d(y,x),∀x,y∈X
  • d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z),∀x,y∈X

設Rn={(x1,x2,···,xn)|x∈R,i=1,2,···,n},那麼我們規定其度量d為:d((x1,x2,···,xn),(y1,y2,···,yn)) = 我們可以看出這一度量滿足上述條件,是Rn的映射。如此以來就可以將這個度量空間記作:En=(Rn,d),即n維歐氏空間。

拓撲公理[編輯 | 編輯原始碼]

在上面我們曾說過τ為X的拓撲需要滿足的條件,這幾個條件我們稱之為拓撲公理:

  1. )X和空集都被τ所包含。
  2. )τ中任意多個成員的並集也被τ所包含。
  3. )τ中有限多個成員的交集也被τ所包含。

接下來我們利用度量拓撲簡單體現一下三種公理的應用。設有度量空間(X,d),為規定X的拓撲,設有x0∈X,並有正數ε。那麼X的子集就可以寫作:

B(x0,ε) := {x∈X|d(x0,x)<ε}
Wikiversity zh Topology img01.png

利用圖形來表示,則可以說此為x0為圓心、ε為半徑的球形領域。

閉集[編輯 | 編輯原始碼]

在之前說歐式空間、度量空間是都曾提到過閉集的概念,我們現在假設有拓撲空間中有子集為閉集,那麼就是開集。在這個語境中,我們可以看到閉集就是一個開集的余集,反之亦然。而分析其他的情況,例如我們可以看到離散拓撲空間中任何子集都是開集,因而任何子集也是閉集。在看如果我們有平凡拓撲空間X,那麼其中就有兩個閉集。如此一來,在中,閉集可以是有限集或者就是X;在中,閉集則可以是可數集或是X。