数学分析

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数学分析之课程, 英文或可作Mathematical Analysis, 但此名甚少出现在英文语境下, 究其原因, 如果是给大学阶段之前的学生开设的分析课程, 名字常作Precalculus, 如果是给大学低年级学生开设的分析课程, 名字常作Calculus. 到了大学高年级, 学生可能学到的分析课程往往是Real Analysis, Complex Analysis (亦常作Function of a complex variable) 等等. 英文环境下实在难以寻觅一门叫做Mathematical Analysis的课程. 中国的数学分析课程一般是数学系大一大二学生的必修课, 一般是三个学期的课程, 但也可能是两个学期或四个学期的课程, 其特点是不仅包含Calculus的内容, 还包含Real Analysis的内容 (但一般不含测度论和勒贝格积分等内容), 一些中国的学校甚至可以讲完一般Stokes定理 (这实际上是非常奇怪的事情).

数学分析课程一般至少要包含以下内容:

  • 基本的集合论 (有可能会包含一定的公理集合论的内容), 函数的集合论观点下的定义
  • 数系的构造 (虽然诸多数学分析书会至少包含实数系的构造, 但是往往在教学中略去不讲)
  • 实数序列的极限的定义和计算 (较Calculus这样的课程, 不仅更加严格, 计算难度也更高)
  • 实函数 (在这里, 实函数指实值的以实数集的子集为定义域的函数) 的连续性的定义, 一致连续的定义, 间断点的分类, 闭区间上的连续函数的性质等
  • 实函数的导数 (微分) 的定义, 初等函数的导数, 求导法则, 微分中值定理, 泰勒定理 (一般是比较严格的讲法), 导数的物理意义和应用, 导数对于函数性态的研究 (包含凸函数, 拐点等内容)
  • 黎曼积分, 达布积分, 微积分基本定理, 含参量积分, 广义积分, 积分的物理应用