數學分析

數學分析之課程, 英文或可作Mathematical Analysis, 但此名甚少出現在英文語境下, 究其原因, 如果是給大學階段之前的學生開設的分析課程, 名字常作Precalculus, 如果是給大學低年級學生開設的分析課程, 名字常作Calculus. 到了大學高年級, 學生可能學到的分析課程往往是Real Analysis, Complex Analysis (亦常作Function of a complex variable) 等等. 英文環境下實在難以尋覓一門叫做Mathematical Analysis的課程. 中國的數學分析課程一般是數學系大一大二學生的必修課, 一般是三個學期的課程, 但也可能是兩個學期或四個學期的課程, 其特點是不僅包含Calculus的內容, 還包含Real Analysis的內容 (但一般不含測度論和勒貝格積分等內容), 一些中國的學校甚至可以講完一般Stokes定理 (這實際上是非常奇怪的事情).

數學分析課程一般至少要包含以下內容:

基本的集合論 (有可能會包含一定的公理集合論的內容), 函數的集合論觀點下的定義
數系的構造 (雖然諸多數學分析書會至少包含實數系的構造, 但是往往在教學中略去不講)
實數序列的極限的定義和計算 (較Calculus這樣的課程, 不僅更加嚴格, 計算難度也更高)
實函數 (在這裡, 實函數指實值的以實數集的子集為定義域的函數) 的連續性的定義, 一致連續的定義, 間斷點的分類, 閉區間上的連續函數的性質等
實函數的導數 (微分) 的定義, 初等函數的導數, 求導法則, 微分中值定理, 泰勒定理 (一般是比較嚴格的講法), 導數的物理意義和應用, 導數對於函數性態的研究 (包含凸函數, 拐點等內容)
黎曼積分, 達布積分, 微積分基本定理, 含參量積分, 廣義積分, 積分的物理應用