数学分析

数学分析之课程, 英文或可作Mathematical Analysis, 但此名甚少出现在英文语境下, 究其原因, 如果是给大学阶段之前的学生开设的分析课程, 名字常作Precalculus, 如果是给大学低年级学生开设的分析课程, 名字常作Calculus. 到了大学高年级, 学生可能学到的分析课程往往是Real Analysis, Complex Analysis (亦常作Function of a complex variable) 等等. 英文环境下实在难以寻觅一门叫做Mathematical Analysis的课程. 中国的数学分析课程一般是数学系大一大二学生的必修课, 一般是三个学期的课程, 但也可能是两个学期或四个学期的课程, 其特点是不仅包含Calculus的内容, 还包含Real Analysis的内容 (但一般不含测度论和勒贝格积分等内容), 一些中国的学校甚至可以讲完一般Stokes定理 (这实际上是非常奇怪的事情).

数学分析课程一般至少要包含以下内容:

基本的集合论 (有可能会包含一定的公理集合论的内容), 函数的集合论观点下的定义
数系的构造 (虽然诸多数学分析书会至少包含实数系的构造, 但是往往在教学中略去不讲)
实数序列的极限的定义和计算 (较Calculus这样的课程, 不仅更加严格, 计算难度也更高)
实函数 (在这里, 实函数指实值的以实数集的子集为定义域的函数) 的连续性的定义, 一致连续的定义, 间断点的分类, 闭区间上的连续函数的性质等
实函数的导数 (微分) 的定义, 初等函数的导数, 求导法则, 微分中值定理, 泰勒定理 (一般是比较严格的讲法), 导数的物理意义和应用, 导数对于函数性态的研究 (包含凸函数, 拐点等内容)
黎曼积分, 达布积分, 微积分基本定理, 含参量积分, 广义积分, 积分的物理应用