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若數列
有上界L,且
,則數列
的極限
,意即若
,則 M 的值不大於L
若
使得数列{
}恒满足
,则称数列{
}有下界;若
使得数列{
}恒满足
,则称数列{
}有上界;若
且
使得数列{
}恒满足
,则称数列{
}有界。
设{
}是一组数列,
为常数,且
,若
,当
时,下面不等式:
![{\displaystyle \left|x_{n}-y\right|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0e9ca06760109b4ad8cd3bbe6db63aaa515e7b)
恒成立,则称数列{
}的极限存在,并称常数
为数列{
}的极限,通常记作:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ebefcaae8689b96a37d4d70e92428ac1887bfab)
此时也称{
}是一个收敛的数列。
若数列{
}收敛,则{
}的极限值是唯一的。
若数列{
}收敛,则{
}是有界数列。
若数列{
}与{
}都有极限。当
时恒有
,若
且
,则必有
。
设
,
,且数列{
}单调递减。则当极限
存在时,极限
存在,且
;当
时,有
。
设
,数列{
}单调递增,则当极限
存在时,极限
存在,且
;当
时,有
。
一個函數
,若當
時,
,意即當
在
上越來越趨近
時,
的值越來越趨近
,一般記做
设函数
在
的某个去心邻域
内有定义。若
,总有
,
使得当
满足
时,必有:
![{\displaystyle \left|f(x)-A\right|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b90a127d9145f59432c731eec38093e957d01d5)
则称函数
趋于常数
的极限是
,通常记作:
![{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65d09d5bfa934b992c44e2ba31287020fdc87b7c)
1. 对于函数
,若
且
,总
,当
时必然满足:
![{\displaystyle \left|f(x)-A\right|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b90a127d9145f59432c731eec38093e957d01d5)
则称函数
趋于正无穷大的极限是
,通常记作:
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cc027b3aa73c211320eb72b7812b50785bdb774)
2. 对于函数
,若
且
,总
,当
时必然满足:
![{\displaystyle \left|f(x)-A\right|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b90a127d9145f59432c731eec38093e957d01d5)
则称函数
趋于负无穷大的极限是
,通常记作:
![{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e534d2eda1522b7fb88d8e104ee2f0509301b8)
3. 对于函数
,若
且
,总
,当
时必然满足:
![{\displaystyle \left|f(x)-A\right|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b90a127d9145f59432c731eec38093e957d01d5)
则称函数
趋于无穷大的极限是
,通常记作:
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3412ba2adbd2a311cfb174bee1a16e45fa2311c0)
若函数
存在极限,则极限值唯一。
1. 设
,
,若
,当
时,都有
,则
。
2. 设
,
,若
,当
时,都有
,则
。
3. 设
,
,若
,当
时, 都有
,则
。
若
且
,则在
的某个去心邻域
内存在一个区间
满足当
时,
的值的正负性与
保持一致。
设函数
在
的某个去心邻域
内有定义,则:
![{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }f(w_{n})=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078624b0061278f6924b1b736fd339cfea94604e)
其中数列{
}是
的某个去心邻域
内任意一个收敛于
的数列,且
。
若函数
与
在
的一个去心邻域内可导且
,
与
的值同时等于0或同时趋于无穷,并且
存在或趋于无穷,则:
![{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2155b8000ae2c71bf69118ee014f782ac546290)
1. 设函数
其中
,则有
。
2. 设数列{
}恒满足
,则有
,其中
是自然对数的底数,
。
3. 设函数
其中
,则有
。
4. 设函数
其中
,则有
。
1. 无穷小:通常称以0为极限的变量或函数为无穷小。
2. 无穷大:若函数
在
(或
)时,
的值无穷增大,则称函数
在
(或
)时为无穷大。通常记作:
(或者
)。
为了方便下面的讨论,现在将
与
(其中
),用符号
来统一表示。
1.高阶无穷小:若
且
(
在极限附近处满足
),当
时,称
是
的高阶无穷小。通常记作:
(
或者
)
2.低阶无穷小:若
且
(
在极限附近处满足
),当
时,称
是
的低阶无穷小。
3.同阶无穷小:若
且
(
在极限附近处满足
),当
(其中
)时,称
是
的同阶无穷小。
4.阶数:若
且
(
在极限附近处满足
),当
(其中
)时,称
是
的
阶无穷小,
是无穷小的阶数。
1.高阶无穷大:若
且
(
在极限附近处必须满足
),当
时,称
是
的高阶无穷大。
2.低阶无穷大:若
且
(
在极限附近处必须满足
),当
时,称
是
的低阶无穷大。
3.同阶无穷大:若
且
(
在极限附近处必须满足
),当
(其中
)时,称
是
的同阶无穷大。
4.阶数:若
且
(
在极限附近处必须满足
),当
(其中
)时,称
是
的
阶无穷大,
是无穷大的阶数。
若
且
(
在极限附近处必须满足
),当
时,称
是
的等价无穷大。
若
且
(
在极限附近处必须满足
),当
时,称
是
的等价无穷小。
參見函數的連續性
- 设数列
等于
,问此数列的极限是否存在?
- 求以下数列的极限,(下式中
是正整数)
?