极限

并不是所有函数的定义域是 $ℝ$ 。有些函数的图像有空隙，比如 $f (x) = \frac{x^{2} - x}{x - 1}$ 。有些函数在计算时会出现零除以零的情况。同时，我们在学习反比例函数时说，它的函数与坐标轴无限接近却不相交，我们该如何表达？

读者朋友请注意，本文有较多的公式，请将浏览器的字体调大(20号左右)，以便阅读，谢谢！

极限的概念

数列的极限

若数列 $A_{n}$ 有上界L，且 $a_{n + 1} > A_{n}$ ，则数列 $A_{n}$ 的极限 $M \leq L$ ，意即若 $lim_{n \to \infty} A_{n} = M$ ，则 M 的值不大于L

数列有界性的定义

若 $\exists A \in R$ 使得数列{ $x_{n}$ }恒满足 $x_{n} \geq A$ ，则称数列{ $x_{n}$ }有下界；若 $\exists B \in R$ 使得数列{ $x_{n}$ }恒满足 $x_{n} \leq B$ ，则称数列{ $x_{n}$ }有上界；若 $\exists A \in R$ 且 $\exists B \in R$ 使得数列{ $x_{n}$ }恒满足 $B \geq x_{n} \geq A$ ，则称数列{ $x_{n}$ }有界。

数列极限的定义

设{ $x_{n}$ }是一组数列， $y \in 𝐑$ 为常数，且 $\forall ε \in 𝐑^{+}$ ，若 $\exists K \in 𝐙^{+}$ ，当 $n > K$ 时，下面不等式：

| x_{n} - y | < ε

恒成立，则称数列{ $x_{n}$ }的极限存在，并称常数 $y$ 为数列{ $x_{n}$ }的极限，通常记作：

lim_{n \to \infty} x_{n} = y

此时也称{ $x_{n}$ }是一个收敛的数列。

性质

唯一性

若数列{ $x_{n}$ }收敛，则{ $x_{n}$ }的极限值是唯一的。

证明：假设 $lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ 且 $lim_{n \to \infty} x_{n} = b (a < b)$ ，则 $\exists K_{1} \in 𝐙^{+}$ 使得当 $n > K_{1}$ 时 $| x_{n} - a | < \frac{b - a}{2}$ ，且 $\exists K_{2} \in 𝐙^{+}$ 使得当 $n > K_{2}$ 时 $| x_{n} - b | < \frac{b - a}{2}$ 。故当 $n > max {K_{1}, K_{2}}$ 时，有 $x_{n} < \frac{a + b}{2}$ 且 $x_{n} > \frac{a + b}{2}$ ，矛盾。故唯一性得证。

有界性

若数列{ $x_{n}$ }收敛，则{ $x_{n}$ }是有界数列。

证明：设 $lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ ，则 $\exists K \in 𝐙^{+}$ 使得当 $n > K$ 时 $| x_{n} - a | < 1$ 。则对 $\forall n \in 𝐙^{+}$ ，有 $| x_{n} | \leq max {| x_{1} |, ..., | x_{K} |, | a | + 1}$ 。故有界性得证。

保序性

若数列{ $x_{n}$ }与{ $y_{n}$ }都有极限。当 $n \geq m$ 时恒有 $x_{n} \geq y_{n}$ ，若 $lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ 且 $lim_{n \to \infty} y_{n} = b$ ，则必有 $a \geq b$ 。

证明：假设 $a < b$ ，则 $\exists K_{1} \in 𝐙^{+}$ 使得当 $n > K_{1}$ 时 $| x_{n} - a | < \frac{b - a}{2}$ ，且 $\exists K_{2} \in 𝐙^{+}$ 使得当 $n > K_{2}$ 时 $| y_{n} - b | < \frac{b - a}{2}$ 。故当 $n > max {K_{1}, K_{2}}$ 时，有 $x_{n} < \frac{a + b}{2} < y_{n}$ ，与条件矛盾。故保序性得证。

斯铎兹（Otto-Stolz）法则

法则一

设 $lim_{n \to \infty} x_{n} = 0$ ， $lim_{n \to \infty} y_{n} = 0$ ，且数列{ $x_{n}$ }单调递减。则当极限 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n} - x_{n + 1}}{y_{n} - y_{n + 1}}$ 存在时，极限 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}$ 存在，且 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n} - x_{n + 1}}{y_{n} - y_{n + 1}} = lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}$ ；当 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n} - x_{n + 1}}{y_{n} - y_{n + 1}} \to + \infty$ 时，有 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} \to + \infty$ 。

法则二

设 $lim_{n \to \infty} y_{n} \to + \infty$ ，数列{ $y_{n}$ }单调递增，则当极限 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n + 1} - x_{n}}{y_{n + 1} - y_{n}}$ 存在时，极限 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}$ 存在，且 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n + 1} - x_{n}}{y_{n + 1} - y_{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}$ ；当 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n + 1} - x_{n}}{y_{n + 1} - y_{n}} \to + \infty$ 时，有 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} \to + \infty$ 。

函数的极限

一个函数 $f (x)$ ，若当 $x \to c$ 时， $f (x) \to L$ ，意即当 $x$ 在 $f (x)$ 上越来越趋近 $c$ 时， $f (x)$ 的值越来越趋近 $L$ ，一般记做 $lim_{x \to c} f (x) = L$

函数极限的定义

自变量趋于常数的极限

设函数 $f (x)$ 在 $a \in 𝐑$ 的某个去心邻域 $(- ϵ, a) \cup (a, ϵ)$ 内有定义。若 $\forall ε \in 𝐑^{+}$ ，总有 $\exists δ \in 𝐑^{+}$ ， $A \in 𝐑$ 使得当 $x$ 满足 $| x - a | < δ$ 时，必有：

| f (x) - A | < ε

则称函数 $f (x)$ 趋于常数 $a$ 的极限是 $A$ ，通常记作：

lim_{x \to a} f (x) = A

自变量趋于无穷的极限

1. 对于函数 $f (x)$ ，若 $\forall ε \in 𝐑^{+}$ 且 $\exists A \in 𝐑$ ，总 $\exists X \in 𝐑^{+}$ ，当 $x > X$ 时必然满足：

| f (x) - A | < ε

则称函数 $f (x)$ 趋于正无穷大的极限是 $A$ ，通常记作：

lim_{x \to + \infty} f (x) = A

2. 对于函数 $f (x)$ ，若 $\forall ε \in 𝐑^{+}$ 且 $\exists A \in 𝐑$ ，总 $\exists X \in 𝐑^{-}$ ，当 $x < X$ 时必然满足：

| f (x) - A | < ε

则称函数 $f (x)$ 趋于负无穷大的极限是 $A$ ，通常记作：

lim_{x \to - \infty} f (x) = A

3. 对于函数 $f (x)$ ，若 $\forall ε \in 𝐑^{+}$ 且 $\exists A \in 𝐑$ ，总 $\exists X \in 𝐑$ ，当 $x > | X |$ 时必然满足：

| f (x) - A | < ε

则称函数 $f (x)$ 趋于无穷大的极限是 $A$ ，通常记作：

lim_{x \to \infty} f (x) = A

性质

唯一性

若函数 $f (x)$ 存在极限，则极限值唯一。

局部保序性

1. 设 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = a$ ， $lim_{x \to x_{0}} g (x) = b$ ，若 $\exists δ \in 𝐑^{+}$ ，当 $| x - x_{0} | < δ$ 时，都有 $f (x) \leq g (x)$ ，则 $a \leq b$ 。

2. 设 $lim_{x \to + \infty} f (x) = a$ ， $lim_{x \to + \infty} g (x) = b$ ，若 $\exists X \in 𝐑^{+}$ ，当 $x > X$ 时，都有 $f (x) \leq g (x)$ ，则 $a \leq b$ 。

3. 设 $lim_{x \to - \infty} f (x) = a$ ， $lim_{x \to - \infty} g (x) = b$ ，若 $\exists X \in 𝐑^{-}$ ，当 $x < X$ 时，都有 $f (x) \leq g (x)$ ，则 $a \leq b$ 。

保号性（也称正负不变性）

若 $lim_{x \to a} f (x) = A$ 且 $A ≠ 0$ ，则在 $a \in 𝐑$ 的某个去心邻域 $(- ϵ, a) \cup (a, ϵ)$ 内存在一个区间 $U_{o}$ 满足当 $x \in U_{o}$ 时， $f (x)$ 的值的正负性与 $A$ 保持一致。

海涅（Heine–Cantor）定理

设函数 $f (x)$ 在 $a \in 𝐑$ 的某个去心邻域 $(- ϵ, a) \cup (a, ϵ)$ 内有定义，则：

lim_{x \to a} f (x) = A \Leftrightarrow lim_{n \to \infty} f (w_{n}) = A

其中数列{ $w_{n}$ }是 $a \in 𝐑$ 的某个去心邻域 $(- ϵ, a) \cup (a, ϵ)$ 内任意一个收敛于 $a$ 的数列，且 $w_{n} ≠ a$ 。

洛必达法则 (l'Hôpital's rule)

若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $a$ 的一个去心邻域内可导且 $g^{'} (x) ≠ 0$ ， $lim_{x \to a} f (x)$ 与 $lim_{x \to a} f (x)$ 的值同时等于0或同时趋于无穷，并且 $lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}$ 存在或趋于无穷，则：

lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

几个常用的极限

1. 设函数 $f (x) = \frac{\sin (x)}{x}$ 其中 $x \in (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ ，则有 $lim_{x \to 0} f (x) = 1$ 。

2. 设数列{ $x_{n}$ }恒满足 $x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ ，则有 $lim_{n \to \infty} x_{n} = e$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数， $e \approx 2.712818 \dots$ 。

3. 设函数 $f (x) = (1 + \frac{1}{x})^{x}$ 其中 $x \in (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ ，则有 $lim_{x \to \infty} f (x) = e$ 。

4. 设函数 $f (x) = (1 - \frac{1}{x})^{x}$ 其中 $x \in (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ ，则有 $lim_{x \to \infty} f (x) = \frac{1}{e}$ 。

无穷的阶

无穷大与无穷小的概念

1. 无穷小：通常称以0为极限的变量或函数为无穷小。
2. 无穷大：若函数 $f (x)$ 在 $x \to x_{0}$ （或 $x \to \infty$ ）时， $| f (x) |$ 的值无穷增大，则称函数 $f (x)$ 在 $x \to x_{0}$ （或 $x \to \infty$ ）时为无穷大。通常记作：

lim_{x \to x_{0}} f (x) = \infty

（或者

lim_{x \to \infty} f (x) = \infty

）。

高阶、低阶与同阶

为了方便下面的讨论，现在将 $lim_{x \to \infty}$ 与 $lim_{x \to c}$ （其中 $c \in 𝐑$ ），用符号 $lim_{}$ 来统一表示。

无穷小的高阶、低阶与同阶

1.高阶无穷小：若 $lim_{} f (x) = 0$ 且 $lim_{} g (x) = 0$ （ $g (x)$ 在极限附近处满足 $g (x) ≠ 0$ ），当 $lim_{} \frac{f (x)}{g (x)} = 0$ 时，称 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的高阶无穷小。通常记作：

f (x) = o (g (x))

（

x \to x_{0}

或者

x \to \infty

）

2.低阶无穷小：若 $lim_{} f (x) = 0$ 且 $lim_{} g (x) = 0$ （ $f (x)$ 在极限附近处满足 $f (x) ≠ 0$ ），当 $lim_{} \frac{g (x)}{f (x)} = 0$ 时，称 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的低阶无穷小。

3.同阶无穷小：若 $lim_{} f (x) = 0$ 且 $lim_{} g (x) = 0$ （ $g (x)$ 在极限附近处满足 $g (x) ≠ 0$ ），当 $lim_{} \frac{f (x)}{g (x)} = c$ （其中 $c \in 𝐑$ ）时，称 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的同阶无穷小。

4.阶数：若 $lim_{} f (x) = 0$ 且 $lim_{} g (x) = 0$ （ $g (x)$ 在极限附近处满足 $g (x) ≠ 0$ ），当 $lim_{} \frac{f (x)}{g^{m} (x)} = c$ （其中 $c, m \in 𝐑$ ）时，称 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的 $m$ 阶无穷小， $m$ 是无穷小的阶数。

无穷大的高阶、低阶与同阶

1.高阶无穷大：若 $lim_{} f (x) = \infty$ 且 $lim_{} g (x) = \infty$ （ $f (x)$ 在极限附近处必须满足 $f (x) ≠ 0$ ），当 $lim_{} \frac{g (x)}{f (x)} = 0$ 时，称 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的高阶无穷大。

2.低阶无穷大：若 $lim_{} f (x) = \infty$ 且 $lim_{} g (x) = \infty$ （ $f (x)$ 在极限附近处必须满足 $f (x) ≠ 0$ ），当 $lim_{} \frac{f (x)}{g (x)} = 0$ 时，称 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的低阶无穷大。

3.同阶无穷大：若 $lim_{} f (x) = \infty$ 且 $lim_{} g (x) = \infty$ （ $g (x)$ 在极限附近处必须满足 $g (x) ≠ 0$ ），当 $lim_{} \frac{f (x)}{g (x)} = c$ （其中 $c \in 𝐑$ ）时，称 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的同阶无穷大。

4.阶数：若 $lim_{} f (x) = \infty$ 且 $lim_{} g (x) = \infty$ （ $g (x)$ 在极限附近处必须满足 $g (x) ≠ 0$ ），当 $lim_{} \frac{f (x)}{g^{m} (x)} = c$ （其中 $c, m \in 𝐑$ ）时，称 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的 $m$ 阶无穷大， $m$ 是无穷大的阶数。

等价无穷

等价无穷大

若 $lim_{} f (x) = \infty$ 且 $lim_{} g (x) = \infty$ （ $f (x)$ 在极限附近处必须满足 $f (x) ≠ 0$ ），当 $lim_{} \frac{g (x)}{f (x)} = 1$ 时，称 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的等价无穷大。

等价无穷小

若 $lim_{} f (x) = 0$ 且 $lim_{} g (x) = 0$ （ $g (x)$ 在极限附近处必须满足 $g (x) ≠ 0$ ），当 $lim_{} \frac{f (x)}{g (x)} = 1$ 时，称 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的等价无穷小。

极限与连续

参见函数的连续性

极限的运算

我们需要研究极限的加、减、乘、除的情况。

无限小的和

很显然，有限个无穷小的和仍然为无穷小。我们先讨论自变量趋于常数时的情况。设 $lim_{x \to c} α = 0$ ， $lim_{x \to c} β = 0$ ， $γ = α + β$ 。

$\forall ε$ ，那么由极限的定义，可以得到 $\exists δ_{1} \in ℝ^{+}$ 使得若 $0 < | x - c | < δ_{1}$ ，则 $| α | < \frac{ε}{2}$ 总是成立； $\exists δ_{2} \in ℝ^{+}$ 使得若 $0 < | x - c | < δ_{2}$ ，则 $| β | < \frac{ε}{2}$ 总是成立。

我们设 $δ = min {δ_{1}, δ_{2}}$ ，那么，若 $0 < | x - c | < δ$ ，则 $| α | < \frac{ε}{2}$ 和 $| β | < \frac{ε}{2}$ 总是成立。

我们知道， $| a + b | \leq | a | + | b |$ ，因此若 $0 < | x - c | < δ$ ，那么 $| α + β | < ε$ 总成立。此时，由极限的定义得 $lim_{x \to c} α + β = 0$ ，也就是说， $lim_{x \to c} γ = 0$ 。

上面，我们只证明了自变量趋于常数时的情况，当自变量趋于无穷大时的情况也类似。用同样的方法也可以证明有限个无穷小的和仍然为无穷小。

习题

设数列 $a_{n}$ 等于 $(- 1)^{n} + 1$ ，问此数列的极限是否存在？
求以下数列的极限，（下式中 $n$ 是正整数）

lim_{n \to \infty} \frac{\log_{a} n}{n} =

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