極限

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極限

並不是所有函數的定義域是$\mathbb {R}$。有些函數的圖像有空隙，比如$f(x)={{x^{2}-x} \over {x-1}}$。有些函數在計算時會出現零除以零的情況。 同時，我們在學習反比例函數時說，它的函數與坐標軸無限接近卻不相交，我們該如何表達？

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數列的極限

若數列 $A_{n}$ 有上界L，且 $a_{n+1}>A_{n}$ ，則數列$A_{n}$ 的極限 $M\leq L$ ，意即若 $\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=M$ ，則 M 的值不大於L

數列有界性的定義

若$\exists A\in R$使得數列{$\left.x_{n}\right.$}恆滿足$x_{n}\geq A$，則稱數列{$\left.x_{n}\right.$}有下界；若$\exists B\in R$使得數列{$\left.x_{n}\right.$}恆滿足$x_{n}\leq B$，則稱數列{$\left.x_{n}\right.$}有上界；若$\exists A\in R$且$\exists B\in R$使得數列{$\left.x_{n}\right.$}恆滿足$B\geq x_{n}\geq A$，則稱數列{$\left.x_{n}\right.$}有界。

數列極限的定義

設{$\left.x_{n}\right.$}是一組數列，$y\in \mathbf {R}$為常數，且$\forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}}$，若$\exists K\in \mathbf {Z^{+}}$，當 $\left.n>K\right.$ 時，下面不等式：

$\left|x_{n}-y\right|<\varepsilon$

恆成立，則稱數列{$\left.x_{n}\right.$}的極限存在，並稱常數$\left.y\right.$為數列{$\left.x_{n}\right.$}的極限，通常記作：

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=y$

此時也稱{$\left.x_{n}\right.$}是一個收斂的數列。

性質

唯一性

若數列{$\left.x_{n}\right.$}收斂，則{$\left.x_{n}\right.$}的極限值是唯一的。

證明：假設 $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ 且 $\lim _{n\to \infty }x_{n}=b\,(a<b)$ ，則 $\exists K_{1}\in \mathbf {Z^{+}}$ 使得當 $\left.n>K_{1}\right.$ 時 $\left|x_{n}-a\right|<{b-a \over 2}$ ，且 $\exists K_{2}\in \mathbf {Z^{+}}$ 使得當 $\left.n>K_{2}\right.$ 時 $\left|x_{n}-b\right|<{b-a \over 2}$ 。故當 $\left.n>\max\{K_{1},\,K_{2}\}\right.$ 時，有 $x_{n}<{a+b \over 2}$ 且 $x_{n}>{a+b \over 2}$ ，矛盾。故唯一性得證。

有界性

若數列{$\left.x_{n}\right.$}收斂，則{$\left.x_{n}\right.$}是有界數列。

證明：設 $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ ，則 $\exists K\in \mathbf {Z^{+}}$ 使得當 $\left.n>K\right.$ 時 $\left|x_{n}-a\right|<1$ 。則對 $\forall n\in \mathbf {Z^{+}}$ ，有 $|x_{n}|\leq \max\{|x_{1}|,\,...\,,\,|x_{K}|,\,|a|+1\}$ 。故有界性得證。

保序性

若數列{$\left.x_{n}\right.$}與{$\left.y_{n}\right.$}都有極限。當$n\geq m$時恆有$x_{n}\geq y_{n}$，若$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$且$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$，則必有$a\geq b$。

證明：假設 $a<b$ ，則 $\exists K_{1}\in \mathbf {Z^{+}}$ 使得當 $\left.n>K_{1}\right.$ 時 $\left|x_{n}-a\right|<{b-a \over 2}$ ，且 $\exists K_{2}\in \mathbf {Z^{+}}$ 使得當 $\left.n>K_{2}\right.$ 時 $\left|y_{n}-b\right|<{b-a \over 2}$ 。故當 $\left.n>\max\{K_{1},\,K_{2}\}\right.$ 時，有 $x_{n}<{a+b \over 2}<y_{n}$ ，與條件矛盾。故保序性得證。

斯鐸茲（Otto-Stolz）法則

法則一

設$\lim _{n\to \infty }x_{n}=0$，$\lim _{n\to \infty }y_{n}=0$，且數列{$\left.x_{n}\right.$}單調遞減。則當極限$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}-x_{n+1}}{y_{n}-y_{n+1}}}$存在時，極限$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$存在，且$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}-x_{n+1}}{y_{n}-y_{n+1}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$；當$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}-x_{n+1}}{y_{n}-y_{n+1}}}\to +\infty$時，有$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\to +\infty$。

法則二

設$\lim _{n\to \infty }y_{n}\to +\infty$，數列{$\left.y_{n}\right.$}單調遞增，則當極限$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}$存在時，極限$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$存在，且$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$；當$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}\to +\infty$時，有$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\to +\infty$。

函數的極限

一個函數$f(x)$，若當$x\rightarrow c$時，$f(x)\rightarrow L$，意即當$x$在$f(x)$上越來越趨近$c$時，$f(x)$的值越來越趨近$L$，一般記做$\lim _{x\rightarrow c}f(x)=L$

函數極限的定義

自變量趨於常數的極限

設函數$\left.f(x)\right.$在$a\in \mathbf {R}$的某個去心鄰域$(-\epsilon ,a)\cup (a,\epsilon )$內有定義。若$\forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}}$，總有$\exists \delta \in \mathbf {R^{+}}$，$A\in \mathbf {R}$使得當$\left.x\right.$滿足$\left|x-a\right|<\delta$時，必有：

$\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$

則稱函數$\left.f(x)\right.$趨於常數$\left.a\right.$的極限是$\left.A\right.$，通常記作：

$\lim _{x\to a}f(x)=A$

自變量趨於無窮的極限

1. 對於函數$\left.f(x)\right.$，若$\forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}}$且$\exists A\in \mathbf {R}$，總$\exists X\in \mathbf {R^{+}}$，當$\left.x>X\right.$時必然滿足：

$\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$

則稱函數$\left.f(x)\right.$趨於正無窮大的極限是$\left.A\right.$，通常記作：

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=A$

2. 對於函數$\left.f(x)\right.$，若$\forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}}$且$\exists A\in \mathbf {R}$，總$\exists X\in \mathbf {R^{-}}$，當$\left.x<X\right.$時必然滿足：

$\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$

則稱函數$\left.f(x)\right.$趨於負無窮大的極限是$\left.A\right.$，通常記作：

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=A$

3. 對於函數$\left.f(x)\right.$，若$\forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}}$且$\exists A\in \mathbf {R}$，總$\exists X\in \mathbf {R}$，當$x>\left|X\right|$時必然滿足：

$\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$

則稱函數$\left.f(x)\right.$趨於無窮大的極限是$\left.A\right.$，通常記作：

$\lim _{x\to \infty }f(x)=A$

性質

唯一性

若函數$\left.f(x)\right.$存在極限，則極限值唯一。

局部保序性

1. 設$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=a$，$\lim _{x\to x_{0}}g(x)=b$，若$\exists \delta \in \mathbf {R^{+}}$，當$\left|x-x_{0}\right|<\delta$時，都有$f(x)\leq g(x)$，則$\left.a\leq b\right.$。

2. 設$\lim _{x\to +\infty }f(x)=a$，$\lim _{x\to +\infty }g(x)=b$，若$\exists X\in \mathbf {R^{+}}$，當$\left.x>X\right.$時，都有$f(x)\leq g(x)$，則$\left.a\leq b\right.$。

3. 設$\lim _{x\to -\infty }f(x)=a$，$\lim _{x\to -\infty }g(x)=b$，若$\exists X\in \mathbf {R^{-}}$，當$\left.x<X\right.$時， 都有$f(x)\leq g(x)$，則$\left.a\leq b\right.$。

保號性（也稱正負不變性）

若$\lim _{x\to a}f(x)=A$且$\left.A\not =0\right.$，則在$a\in \mathbf {R}$的某個去心鄰域$(-\epsilon ,a)\cup (a,\epsilon )$內存在一個區間$\left.U_{o}\right.$滿足當$x\in U_{o}$時，$\left.f(x)\right.$的值的正負性與$\left.A\right.$保持一致。

海涅（Heine–Cantor）定理

設函數$\left.f(x)\right.$在$a\in \mathbf {R}$的某個去心鄰域$(-\epsilon ,a)\cup (a,\epsilon )$內有定義，則：

$\lim _{x\to a}f(x)=A\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }f(w_{n})=A$

其中數列{$\left.w_{n}\right.$}是$a\in \mathbf {R}$的某個去心鄰域$(-\epsilon ,a)\cup (a,\epsilon )$內任意一個收斂於$\left.a\right.$的數列，且$w_{n}\not =a$。

洛必達法則 (l'Hôpital's rule)

若函數 $\left.f(x)\right.$ 與 $\left.g(x)\right.$ 在 $a$ 的一個去心鄰域內可導且 $g'(x)\not =0$，$\lim _{x\to a}f(x)$ 與 $\lim _{x\to a}f(x)$ 的值同時等於0或同時趨於無窮，並且 $\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ 存在或趨於無窮，則：

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}$

幾個常用的極限

1. 設函數$f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}$其中$x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$，則有$\lim _{x\to 0}f(x)=1$。

2. 設數列{$\left.x_{n}\right.$}恆滿足$x_{n}=(1+{\frac {1}{n}})^{n}$，則有$\lim _{n\to \infty }x_{n}=e$，其中$\left.e\right.$是自然對數的底數，$e\approx 2.712818\cdots$。

3. 設函數$f(x)=(1+{\frac {1}{x}})^{x}$其中$x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$，則有$\lim _{x\to \infty }f(x)=e$。

4. 設函數$f(x)=(1-{\frac {1}{x}})^{x}$其中$x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$，則有$\lim _{x\to \infty }f(x)={\frac {1}{e}}$。

無窮的階

無窮大與無窮小的概念

1. 無窮小：通常稱以0為極限的變量或函數為無窮小。
2. 無窮大：若函數$\left.f(x)\right.$在$x\to x_{0}$（或$x\to \infty$）時，$\left|f(x)\right|$的值無窮增大，則稱函數$\left.f(x)\right.$在$x\to x_{0}$（或$x\to \infty$）時為無窮大。通常記作：

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\infty$（或者$\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$）。

高階、低階與同階

為了方便下面的討論，現在將$\lim _{x\to \infty }$與$\lim _{x\to c}$（其中$c\in \mathbf {R}$），用符號$\lim _{}$來統一表示。

無窮小的高階、低階與同階

1.高階無窮小：若$\lim _{}f(x)=0$且$\lim _{}g(x)=0$（$\left.g(x)\right.$在極限附近處滿足$\left.g(x)\not =0\right.$），當$\lim _{}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0$時，稱$\left.f(x)\right.$是$\left.g(x)\right.$的高階無窮小。通常記作：

$\left.f(x)=o(g(x))\right.$（$x\to x_{0}$或者$x\to \infty$）

2.低階無窮小：若$\lim _{}f(x)=0$且$\lim _{}g(x)=0$（$\left.f(x)\right.$在極限附近處滿足$\left.f(x)\not =0\right.$），當$\lim _{}{\frac {g(x)}{f(x)}}=0$時，稱$\left.f(x)\right.$是$\left.g(x)\right.$的低階無窮小。

3.同階無窮小：若$\lim _{}f(x)=0$且$\lim _{}g(x)=0$（$\left.g(x)\right.$在極限附近處滿足$\left.g(x)\not =0\right.$），當$\lim _{}{\frac {f(x)}{g(x)}}=c$（其中$c\in \mathbf {R}$）時，稱$\left.f(x)\right.$是$\left.g(x)\right.$的同階無窮小。

4.階數：若$\lim _{}f(x)=0$且$\lim _{}g(x)=0$（$\left.g(x)\right.$在極限附近處滿足$\left.g(x)\not =0\right.$），當$\lim _{}{\frac {f(x)}{g^{m}(x)}}=c$（其中$c,m\in \mathbf {R}$）時，稱$\left.f(x)\right.$是$\left.g(x)\right.$的$\left.m\right.$階無窮小，$\left.m\right.$是無窮小的階數。

無窮大的高階、低階與同階

1.高階無窮大：若$\lim _{}f(x)=\infty$且$\lim _{}g(x)=\infty$（$\left.f(x)\right.$在極限附近處必須滿足$\left.f(x)\not =0\right.$），當$\lim _{}{\frac {g(x)}{f(x)}}=0$時，稱$\left.f(x)\right.$是$\left.g(x)\right.$的高階無窮大。

2.低階無窮大：若$\lim _{}f(x)=\infty$且$\lim _{}g(x)=\infty$（$\left.f(x)\right.$在極限附近處必須滿足$\left.f(x)\not =0\right.$），當$\lim _{}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0$時，稱$\left.f(x)\right.$是$\left.g(x)\right.$的低階無窮大。

3.同階無窮大：若$\lim _{}f(x)=\infty$且$\lim _{}g(x)=\infty$（$\left.g(x)\right.$在極限附近處必須滿足$\left.g(x)\not =0\right.$），當$\lim _{}{\frac {f(x)}{g(x)}}=c$（其中$c\in \mathbf {R}$）時，稱$\left.f(x)\right.$是$\left.g(x)\right.$的同階無窮大。

4.階數：若$\lim _{}f(x)=\infty$且$\lim _{}g(x)=\infty$（$\left.g(x)\right.$在極限附近處必須滿足$\left.g(x)\not =0\right.$），當$\lim _{}{\frac {f(x)}{g^{m}(x)}}=c$（其中$c,m\in \mathbf {R}$）時，稱$\left.f(x)\right.$是$\left.g(x)\right.$的$\left.m\right.$階無窮大，$\left.m\right.$是無窮大的階數。

等價無窮

等價無窮大

若$\lim _{}f(x)=\infty$且$\lim _{}g(x)=\infty$（$\left.f(x)\right.$在極限附近處必須滿足$\left.f(x)\not =0\right.$），當$\lim _{}{\frac {g(x)}{f(x)}}=1$時，稱$\left.f(x)\right.$是$\left.g(x)\right.$的等價無窮大。

等價無窮小

若$\lim _{}f(x)=0$且$\lim _{}g(x)=0$（$\left.g(x)\right.$在極限附近處必須滿足$\left.g(x)\not =0\right.$），當$\lim _{}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1$時，稱$\left.f(x)\right.$是$\left.g(x)\right.$的等價無窮小。

極限與連續

參見函數的連續性

極限的運算

我們需要研究極限的加、減、乘、除的情況。

無限小的和

很顯然，有限個無窮小的和仍然為無窮小。 我們先討論自變量趨於常數時的情況。設$\lim _{x\to c}\alpha =0$，$\lim _{x\to c}\beta =0$，$\gamma =\alpha +\beta$。

$\forall \varepsilon$，那麼由極限的定義，可以得到$\exists \delta _{1}\in \mathbb {R^{+}}$使得若$0<\left\vert x-c\right\vert <\delta _{1}$，則$\left\vert \alpha \right\vert <{{\varepsilon } \over 2}$總是成立；$\exists \delta _{2}\in \mathbb {R^{+}}$使得若$0<\left\vert x-c\right\vert <\delta _{2}$，則$\left\vert \beta \right\vert <{{\varepsilon } \over 2}$總是成立。

我們設$\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$，那麼，若$0<\left\vert x-c\right\vert <\delta$，則$\left\vert \alpha \right\vert <{{\varepsilon } \over 2}$和$\left\vert \beta \right\vert <{{\varepsilon } \over 2}$總是成立。

我們知道，$\left\vert a+b\right\vert \leq \left\vert a\right\vert +\left\vert b\right\vert$，因此若$0<\left\vert x-c\right\vert <\delta$，那麼$\left\vert \alpha +\beta \right\vert <\varepsilon$總成立。此時，由極限的定義得$\lim _{x\to c}\alpha +\beta =0$，也就是說，$\lim _{x\to c}\gamma =0$。

上面，我們只證明了自變量趨於常數時的情況，當自變量趨於無窮大時的情況也類似。用同樣的方法也可以證明有限個無窮小的和仍然為無窮小。

習題

1. 設數列$a_{n}$等於$(-1)^{n}+1$，問此數列的極限是否存在？
2. 求以下數列的極限，（下式中$n$是正整數）

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\log _{a}n}{n}}=$?