極限

來自維基學院
跳至導覽 跳至搜尋
Wikipedia-logo.png
維基百科中的相關條目:


讀者朋友請注意,本文有較多的公式,請將瀏覽器的字體調大(20號左右),以便閱讀,謝謝!

極限的概念[編輯 | 編輯原始碼]

數列的極限[編輯 | 編輯原始碼]

若數列 有上界L,且 ,則數列 的極限 ,意即若 ,則 M 的值不大於L

數列有界性的定義[編輯 | 編輯原始碼]

使得數列{}恆滿足,則稱數列{}有下界;若使得數列{}恆滿足,則稱數列{}有上界;若使得數列{}恆滿足,則稱數列{}有界。

數列極限的定義[編輯 | 編輯原始碼]

設{}是一組數列,為常數,且,若,當 時,下面不等式:

恆成立,則稱數列{}的極限存在,並稱常數為數列{}的極限,通常記作:

此時也稱{}是一個收斂的數列。

性質[編輯 | 編輯原始碼]

唯一性[編輯 | 編輯原始碼]

若數列{}收斂,則{}的極限值是唯一的。

有界性[編輯 | 編輯原始碼]

若數列{}收斂,則{}是有界數列。

保序性[編輯 | 編輯原始碼]

若數列{}與{}都有極限。當時恆有,若,則必有

斯鐸茲(Otto-Stolz)法則[編輯 | 編輯原始碼]

法則一[編輯 | 編輯原始碼]

,且數列{}單調遞減。則當極限存在時,極限存在,且;當時,有

法則二[編輯 | 編輯原始碼]

,數列{}單調遞增,則當極限存在時,極限存在,且;當時,有

函數的極限[編輯 | 編輯原始碼]

一個函數,若當時,,意即當上越來越趨近時,的值越來越趨近,一般記做

函數極限的定義[編輯 | 編輯原始碼]

自變量趨於常數的極限[編輯 | 編輯原始碼]

設函數的某個去心鄰域內有定義。若,總有使得當滿足時,必有:

則稱函數趨於常數的極限是,通常記作:

自變量趨於無窮的極限[編輯 | 編輯原始碼]

1. 對於函數,若,總,當時必然滿足:

則稱函數趨於正無窮大的極限是,通常記作:

2. 對於函數,若,總,當時必然滿足:

則稱函數趨於負無窮大的極限是,通常記作:

3. 對於函數,若,總,當時必然滿足:

則稱函數趨於無窮大的極限是,通常記作:

性質[編輯 | 編輯原始碼]

唯一性[編輯 | 編輯原始碼]

若函數存在極限,則極限值唯一。

局部保序性[編輯 | 編輯原始碼]

1. 設,若,當時,都有,則

2. 設,若,當時,都有,則

3. 設,若,當時, 都有,則

保號性(也稱正負不變性)[編輯 | 編輯原始碼]

,則在的某個去心鄰域內存在一個區間滿足當時,的值的正負性與保持一致。

海涅(Heine–Cantor)定理[編輯 | 編輯原始碼]

設函數的某個去心鄰域內有定義,則:

其中數列{}是的某個去心鄰域內任意一個收斂於的數列,且

洛必達法則 (l'Hôpital's rule)[編輯 | 編輯原始碼]

若函數 的一個去心鄰域內可導且 的值同時等於0或同時趨於無窮,並且 存在或趨於無窮,則:

幾個常用的極限[編輯 | 編輯原始碼]

1. 設函數其中,則有

2. 設數列{}恆滿足,則有,其中是自然對數的底數,

3. 設函數其中,則有

4. 設函數其中,則有

無窮的階[編輯 | 編輯原始碼]

無窮大與無窮小的概念[編輯 | 編輯原始碼]

1. 無窮小:通常稱以0為極限的變量或函數為無窮小。
2. 無窮大:若函數(或)時,的值無窮增大,則稱函數(或)時為無窮大。通常記作:

(或者)。

高階、低階與同階[編輯 | 編輯原始碼]

為了方便下面的討論,現在將(其中),用符號來統一表示。

無窮小的高階、低階與同階[編輯 | 編輯原始碼]

1.高階無窮小:若在極限附近處滿足),當時,稱的高階無窮小。通常記作:

或者

2.低階無窮小:若在極限附近處滿足),當時,稱的低階無窮小。

3.同階無窮小:若在極限附近處滿足),當(其中)時,稱的同階無窮小。

4.階數:若在極限附近處滿足),當(其中)時,稱階無窮小,是無窮小的階數。

無窮大的高階、低階與同階[編輯 | 編輯原始碼]

1.高階無窮大:若在極限附近處必須滿足),當時,稱的高階無窮大。

2.低階無窮大:若在極限附近處必須滿足),當時,稱的低階無窮大。

3.同階無窮大:若在極限附近處必須滿足),當(其中)時,稱的同階無窮大。

4.階數:若在極限附近處必須滿足),當(其中)時,稱階無窮大,是無窮大的階數。

等價無窮[編輯 | 編輯原始碼]

等價無窮大[編輯 | 編輯原始碼]

在極限附近處必須滿足),當時,稱的等價無窮大。

等價無窮小[編輯 | 編輯原始碼]

在極限附近處必須滿足),當時,稱的等價無窮小。

極限與連續[編輯 | 編輯原始碼]

參見函數的連續性


習題[編輯 | 編輯原始碼]

  1. 設數列等於,問此數列的極限是否存在?
  2. 求以下數列的極限,(下式中是正整數)
?