自然数

自然数可以这样理解：在计量事物的件数或表示事物次序时所用的数。即用数码0，1，2，3，4……所表示的数。

自然数包括0吗？

一个物体也没有，当然可以用“0”来表示。然而，在數學定義中“0”並不屬於自然数。
另外，为了让数学更好的与计算机科学相结合，数学家定义无符号整数为自然数。“0”也是无符号整数，所以“0”属于自然数。

自然数的集合表示

数学家一般用$\mathbb{N}$以代表包括0的自然数组成的集合。 但为了教学目的，也为了加以区分，用$\mathbb{N}$*用以代表不包括0的自然数组成的集合。 $\mathbb{N}$={0，1，2，…} $\mathbb{N}$*={1，2，3，…}

自然数的运算

一、运算形式

口算，又称心算，是指不借助工具直接通过思维求出结果的一种计算方法。——发展儿童思维的敏捷性

笔算：借助笔且运用列式的方法，按照一定的规则来求出结果的一种方法。——发展学生思维与运算的协调性

口算：基于意义的；竖式：基于规则的

估算：是一种无需获得精确结果的口算，是个体依据条件和有关知识对事物的数量或运算的结果做一种大致的判断。——发展儿童思维的反省性

还包括：

运算法则的理解：运算法则是关于运算方法和程序的规定，运算法则的理论依据称为算理。

运算性质的总结：运算性质反映运算的规律性，如加法交换律、乘法交换律；加法结合律、乘法结合律；乘法对加法、减法的分配律；以及积的变化规律、商不变的性质等。

运算方法的掌握：运算方法是指利用四则运算求某种量，或者两种量换算的具体方法。

二、作为“模型”的四则运算 自然数的运算包括：加法，减法，乘法，取商除法，和取余除法 加法可以作为合并、增加、移入等的模型；（静态、动态模型） 减法可以作为剩余、减少、比较等的模型；（动态、静态模型）

探索活動1

1. $0$、$1$、$2$、$3$、$4$、$5$……非負整数。那麼，那些數是非正整数嗎？_________________________，0是整数嗎？____________________
2. 完成以下句子。
   1. $13$、$14$、$15$、 __是四個連續數。
   2. $-16$、$-15$、__是三個連續數。
   3. $x$、$x+1$、__、 __是四個連續數。
   4. __、$x$、__、 __是四個連續數。
3. 當$k$取不同的整數值時，分別計算$2k$和$2k+1$的值；問所得$2k$和$2k+1$的值，分別有何特徵？

__________________________________________________________

結論：若$k$為整數，則$k$、$k+1$（或$k-1$、$k$）為連續數，而$2k$和$2k+1$(或$2k-1$)分別為 偶數 和 奇數 。

一般而言，若$k$為整數，則$3k$、$4k$、$5k$依次稱為3的倍數、4的倍數、5的倍數，如此類推。

探索活動2

1. 試用計算機把下列各分數改寫成小數。

分數	小數
$\frac{3}{5}$
$\frac{4}{3}$
$\frac{2}{9}$
$\frac{7}{8}$
$\frac{25}{16}$
$\frac{26}{11}$

1. 由問題1的結果，你可歸納出分數轉換成小數後有多少種形式？試描述它們的特徵。

______________________________________________________________

結論：所有分數都可轉換成 有盡小數 或 循環小數 。 有盡小數例子：$0.5$、$4.6$、$3.1416$
循環小數例子：$0.333333\dots$、$5.55555\dots$、$2.323232\dots$

• $\frac{3}{5}=0.6$
  

• $\frac{9}{8}$ , 假分數的話，可以先作$9-8=1$的運算，

剩下$\frac{1}{8}=0.125$，剛剛減了"一"次8，所以再加上1, 即得答案$\frac{9}{8}=1.125$

• $\frac{36}{11}$，36去給11减，

36－11=25

36－11－11=14，

36－11－11－11=3，

36－11－11－11－11=－8, 因值低於0了，不採用！

只採用 $36-11-11-11=3$,

36被11減了"3"次， 剩下$\frac{3}{11}=0.272727\dots$,因11減了36共3次，所以加上3, 即得: $\frac{36}{11}=36÷11=3.272727\dots$, 也可以寫作$\frac{36}{11}=3.\overline{27}$

另外，取餘數也可利用此方法 $36mod11=36-11-11-11=3$

循環小數也可以轉換成分數：

• $74.\overline{312}$

先看看小數點後共有多少位循環節，分母就寫多少個9， 多少位非循環節，分母就再補多少個0，

此題小數點後共有3位循環節，0位非循環節，故分母為999

分子部份是循環小數全寫上去，然後將小數點刪除，扣掉非循環的部份：

即74312－74＝74238

故此分數為$\frac{74238}{999}=\frac{24746}{333}$

還有另一種解法：

令$x=74.\overline{312}$

$1000x=74312.\overline{312}$

兩式相減：$x=\frac{74312-74}{1000-1}$

74312－74＝74238 , 1000－1＝999

$x=\frac{74238}{999}=\frac{24746}{333}$

• $0.05\overline{36}$

此題小數點後共有2位循環節，2位非循環節，故分母為9900

分子部份是循環小數全寫上去，然後將小數點刪除，扣掉非循環的部份：

即536－5＝531

故此分數為$\frac{531}{9900}$

• $11.\overline{1136}$

此題小數點後共有4位循環節，0位非循環節，故分母為9999

分子部份是循環小數全寫上去，然後將小數點刪除，扣掉非循環的部份：

即111136－11＝111125

故此分數為$\frac{111125}{9999}$

循環小數的應用：

• $\frac{1136}{9999}-\frac{1}{909}=\frac{1136-11}{9999}$
  $=0.1136113611361136\dots -0.0011001100110011\dots$
  

$=0.1125112511251125\dots =\frac{1125}{9999}$

1136－11＝1125

$\begin{array}{c}0.1136113611361136\\ \underset{\_}{-0.0011001100110011}\\ 0.1125112511251125\end{array}$