自然数

自然数可以这样理解：在计量事物的件数或表示事物次序时所用的数。即用数码0，1，2，3，4……所表示的数。

自然数包括0吗？

一个物体也没有，当然可以用“0”来表示。然而，在数学定义中“0”并不属于自然数。
另外，为了让数学更好的与计算机科学相结合，数学家定义无符号整数为自然数。“0”也是无符号整数，所以“0”属于自然数。

自然数的集合表示

数学家一般用$\mathbb {N}$以代表包括0的自然数组成的集合。 但为了教学目的，也为了加以区分，用$\mathbb {N}$*用以代表不包括0的自然数组成的集合。 $\mathbb {N}$={0，1，2，…} $\mathbb {N}$*={1，2，3，…}

自然数的运算

一、运算形式

口算，又称心算，是指不借助工具直接通过思维求出结果的一种计算方法。——发展儿童思维的敏捷性

笔算：借助笔且运用列式的方法，按照一定的规则来求出结果的一种方法。——发展学生思维与运算的协调性

口算：基于意义的；竖式：基于规则的

估算：是一种无需获得精确结果的口算，是个体依据条件和有关知识对事物的数量或运算的结果做一种大致的判断。——发展儿童思维的反省性

还包括：

运算法则的理解：运算法则是关于运算方法和程序的规定，运算法则的理论依据称为算理。

运算性质的总结：运算性质反映运算的规律性，如加法交换律、乘法交换律；加法结合律、乘法结合律；乘法对加法、减法的分配律；以及积的变化规律、商不变的性质等。

运算方法的掌握：运算方法是指利用四则运算求某种量，或者两种量换算的具体方法。

二、作为“模型”的四则运算 自然数的运算包括：加法，减法，乘法，取商除法，和取余除法 加法可以作为合并、增加、移入等的模型；（静态、动态模型） 减法可以作为剩余、减少、比较等的模型；（动态、静态模型）

探索活动1

1. $0$、$1$、$2$、$3$、$4$、$5$……非负整数。那么，那些数是非正整数吗？_________________________，0是整数吗？____________________
2. 完成以下句子。
   1. $13$、$14$、$15$、 __是四个连续数。
   2. $-16$、$-15$、__是三个连续数。
   3. $x$、$x+1$、__、 __是四个连续数。
   4. __、$x$、__、 __是三个连续数。
3. 当$k$取不同的整数值时，分别计算$2k$和$2k+1$的值；问所得$2k$和$2k+1$的值，分别有何特征？

__________________________________________________________

结论：若$k$为整数，则$k$、$k+1$（或$k-1$、$k$）为连续数，而$2k$和$2k+1$(或$2k-1$)分别为 偶数 和 奇数 。

一般而言，若$k$为整数，则$3k$、$4k$、$5k$依次称为3的倍数、4的倍数、5的倍数，如此类推。

探索活动2

1. 试用计算机把下列各分数改写成小数。

分数	小数
${\frac {3}{5}}$
${\frac {4}{3}}$
${\frac {2}{9}}$
${\frac {7}{8}}$
${\frac {25}{16}}$
${\frac {26}{11}}$

1. 由问题1的结果，你可归纳出分数转换成小数后有多少种形式？试描述它们的特征。

______________________________________________________________

结论：所有分数都可转换成 有尽小数 或 循环小数 。 有尽小数例子：$0.5$、$4.6$、$3.1416$
循环小数例子：$0.333333\ldots$、$5.55555\ldots$、$2.323232\ldots$

• ${\frac {3}{5}}=0.6$
  

• ${\frac {9}{8}}$ , 假分数的话，可以先作$9-8=1$的运算，

剩下${\frac {1}{8}}=0.125$，刚刚减了"一"次8，所以再加上1, 即得答案${\frac {9}{8}}=1.125$

• ${\frac {36}{11}}$，36去给11减，

36－11=25

36－11－11=14，

36－11－11－11=3，

36－11－11－11－11=－8, 因值低于0了，不采用！

只采用 $36-11-11-11=3$,

36被11减了"3"次， 剩下${\frac {3}{11}}=0.272727\dots$,因11减了36共3次，所以加上3, 即得: ${\frac {36}{11}}=36\div 11=3.272727\dots$, 也可以写作${\frac {36}{11}}=3.{\overline {27}}$

另外，取余数也可利用此方法 $36mod11=36-11-11-11=3$

循环小数也可以转换成分数：

• $74.{\overline {312}}$

先看看小数点后共有多少位循环节，分母就写多少个9， 多少位非循环节，分母就再补多少个0，

此题小数点后共有3位循环节，0位非循环节，故分母为999

分子部分是循环小数全写上去，然后将小数点删除，扣掉非循环的部分：

即74312－74＝74238

故此分数为${\frac {74238}{999}}={\frac {24746}{333}}$

还有另一种解法：

令$x=74.{\overline {312}}$

$1000x=74312.{\overline {312}}$

两式相减：$x={\frac {74312-74}{1000-1}}$

74312－74＝74238 , 1000－1＝999

$x={\frac {74238}{999}}={\frac {24746}{333}}$

• $0.05{\overline {36}}$

此题小数点后共有2位循环节，2位非循环节，故分母为9900

分子部分是循环小数全写上去，然后将小数点删除，扣掉非循环的部分：

即536－5＝531

故此分数为${\frac {531}{9900}}$

• $11.{\overline {1136}}$

此题小数点后共有4位循环节，0位非循环节，故分母为9999

分子部分是循环小数全写上去，然后将小数点删除，扣掉非循环的部分：

即111136－11＝111125

故此分数为${\frac {111125}{9999}}$

循环小数的应用：

• ${\frac {1136}{9999}}-{\frac {1}{909}}={\frac {1136-11}{9999}}$
  $=0.1136113611361136\dots -0.0011001100110011\dots$
  

$=0.1125112511251125\dots ={\frac {1125}{9999}}$

1136－11＝1125

${\begin{aligned}{0.1136113611361136}\\{\underline {-0.0011001100110011}}\\{0.1125112511251125}\end{aligned}}$

参考资料

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