自然數

自然數可以這樣理解：在計量事物的件數或表示事物次序時所用的數。即用數碼0，1，2，3，4……所表示的數。

自然數包括0嗎？

一個物體也沒有，當然可以用「0」來表示。然而，在數學定義中「0」並不屬於自然數。
另外，為了讓數學更好的與計算機科學相結合，數學家定義無符號整數為自然數。「0」也是無符號整數，所以「0」屬於自然數。

自然數的集合表示

數學家一般用$\mathbb {N}$以代表包括0的自然數組成的集合。 但為了教學目的，也為了加以區分，用$\mathbb {N}$*用以代表不包括0的自然數組成的集合。 $\mathbb {N}$={0，1，2，…} $\mathbb {N}$*={1，2，3，…}

自然數的運算

一、運算形式

口算，又稱心算，是指不藉助工具直接通過思維求出結果的一種計算方法。——發展兒童思維的敏捷性

筆算：藉助筆且運用列式的方法，按照一定的規則來求出結果的一種方法。——發展學生思維與運算的協調性

口算：基於意義的；豎式：基於規則的

估算：是一種無需獲得精確結果的口算，是個體依據條件和有關知識對事物的數量或運算的結果做一種大致的判斷。——發展兒童思維的反省性

還包括：

運算法則的理解：運算法則是關於運算方法和程序的規定，運算法則的理論依據稱為算理。

運算性質的總結：運算性質反映運算的規律性，如加法交換律、乘法交換律；加法結合律、乘法結合律；乘法對加法、減法的分配律；以及積的變化規律、商不變的性質等。

運算方法的掌握：運算方法是指利用四則運算求某種量，或者兩種量換算的具體方法。

二、作為「模型」的四則運算 自然數的運算包括：加法，減法，乘法，取商除法，和取余除法 加法可以作為合併、增加、移入等的模型；（靜態、動態模型） 減法可以作為剩餘、減少、比較等的模型；（動態、靜態模型）

探索活動1

1. $0$、$1$、$2$、$3$、$4$、$5$……非負整數。那麼，那些數是非正整數嗎？_________________________，0是整數嗎？____________________
2. 完成以下句子。
   1. $13$、$14$、$15$、 __是四個連續數。
   2. $-16$、$-15$、__是三個連續數。
   3. $x$、$x+1$、__、 __是四個連續數。
   4. __、$x$、__、 __是三個連續數。
3. 當$k$取不同的整數值時，分別計算$2k$和$2k+1$的值；問所得$2k$和$2k+1$的值，分別有何特徵？

__________________________________________________________

結論：若$k$為整數，則$k$、$k+1$（或$k-1$、$k$）為連續數，而$2k$和$2k+1$(或$2k-1$)分別為 偶數 和 奇數 。

一般而言，若$k$為整數，則$3k$、$4k$、$5k$依次稱為3的倍數、4的倍數、5的倍數，如此類推。

探索活動2

1. 試用計算機把下列各分數改寫成小數。

分數	小數
${\frac {3}{5}}$
${\frac {4}{3}}$
${\frac {2}{9}}$
${\frac {7}{8}}$
${\frac {25}{16}}$
${\frac {26}{11}}$

1. 由問題1的結果，你可歸納出分數轉換成小數後有多少種形式？試描述它們的特徵。

______________________________________________________________

結論：所有分數都可轉換成 有盡小數 或 循環小數 。 有盡小數例子：$0.5$、$4.6$、$3.1416$
循環小數例子：$0.333333\ldots$、$5.55555\ldots$、$2.323232\ldots$

• ${\frac {3}{5}}=0.6$
  

• ${\frac {9}{8}}$ , 假分數的話，可以先作$9-8=1$的運算，

剩下${\frac {1}{8}}=0.125$，剛剛減了"一"次8，所以再加上1, 即得答案${\frac {9}{8}}=1.125$

• ${\frac {36}{11}}$，36去給11減，

36－11=25

36－11－11=14，

36－11－11－11=3，

36－11－11－11－11=－8, 因值低於0了，不採用！

只採用 $36-11-11-11=3$,

36被11減了"3"次， 剩下${\frac {3}{11}}=0.272727\dots$,因11減了36共3次，所以加上3, 即得: ${\frac {36}{11}}=36\div 11=3.272727\dots$, 也可以寫作${\frac {36}{11}}=3.{\overline {27}}$

另外，取餘數也可利用此方法 $36mod11=36-11-11-11=3$

循環小數也可以轉換成分數：

• $74.{\overline {312}}$

先看看小數點後共有多少位循環節，分母就寫多少個9， 多少位非循環節，分母就再補多少個0，

此題小數點後共有3位循環節，0位非循環節，故分母為999

分子部份是循環小數全寫上去，然後將小數點刪除，扣掉非循環的部份：

即74312－74＝74238

故此分數為${\frac {74238}{999}}={\frac {24746}{333}}$

還有另一種解法：

令$x=74.{\overline {312}}$

$1000x=74312.{\overline {312}}$

兩式相減：$x={\frac {74312-74}{1000-1}}$

74312－74＝74238 , 1000－1＝999

$x={\frac {74238}{999}}={\frac {24746}{333}}$

• $0.05{\overline {36}}$

此題小數點後共有2位循環節，2位非循環節，故分母為9900

分子部份是循環小數全寫上去，然後將小數點刪除，扣掉非循環的部份：

即536－5＝531

故此分數為${\frac {531}{9900}}$

• $11.{\overline {1136}}$

此題小數點後共有4位循環節，0位非循環節，故分母為9999

分子部份是循環小數全寫上去，然後將小數點刪除，扣掉非循環的部份：

即111136－11＝111125

故此分數為${\frac {111125}{9999}}$

循環小數的應用：

• ${\frac {1136}{9999}}-{\frac {1}{909}}={\frac {1136-11}{9999}}$
  $=0.1136113611361136\dots -0.0011001100110011\dots$
  

$=0.1125112511251125\dots ={\frac {1125}{9999}}$

1136－11＝1125

${\begin{aligned}{0.1136113611361136}\\{\underline {-0.0011001100110011}}\\{0.1125112511251125}\end{aligned}}$

參考資料

維基百科中的相關條目：

自然數