非线性动力学引论

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混沌现象[编辑 | 编辑源代码]

早在20世纪初,法国数学家庞加莱(Poincaré)就通过对三体问题的研究窥探到了非周期性的混沌现象,他指出在一些非线性系统中的运动轨迹非常依赖于初始条件的敏感性,这种现象可以理解为我们现在所熟知的“蝴蝶效应”的总结性特征。这也成为了现在我们所研究的混沌的最核心的定义,并启发了后来日本吸引子和Lorenz吸引子的发现。两位科学家发现了确定性非线性动力学方程中有非周期性轨道,其中的一个现象,即奇怪吸引子成为了他们理论的核心。其中一位是来自美国的Lorenz,他当时正在研究大气热对流问题,他在电脑中模拟的大气动力系统没有周期性或静止形成一点,反而形成了非周期性振动。当时计算机所反馈出来的混沌图形,如同蝴蝶的两个翅膀。

尽管Lorenz和Ueda所发现的两个吸引力在现在已经划分为奇怪吸引子,但是奇怪吸引子的概念是70年代才被确立的。流体力学中有一种问题叫做湍流问题,两位数学家Ruelle和Takens在研究湍流的本质时提出了奇怪吸引子的概念。在Ruelle发展了可微动力系统中庞加莱的关于漩涡理论的一些想法后,他初步形成了敏感依赖初始条件的吸引子的概念,并和Takens完成了这一篇论文。

奇怪吸引子的概念对于传统的力学界而言比较“奇怪”。当时针对流体的普遍看法是随着外力增加,流体中被激发离散的独立频率数也会相应地不断增加,这一论点却和奇怪吸引子所对立,因为奇怪吸引子说明同样情况下会产生一个连续的频率谱。这一相对奇怪的结论经过同心圆柱之间的流体运动实验成功后才得以被证实。然而值得注意的是,在耗散的非线性动力系统中才能存有奇怪吸引子。我们在课程中将会最先开始说明的经典非线性动力系统是保守的,其总相空间体积保持不变,因而无法存有奇怪吸引子。

保守系统[编辑 | 编辑源代码]

保守非线性动力系统的最基础运动是单摆运动,双重摆运动为我们展现出了混沌运动轨迹。在现在的研究中,我们可以看到的针对保守系统的KAM定理规定了混沌现象中的规则KAM曲面,与其相联系的相似律中规定的自相似性及标度理论形成了研究湍流问题和保守系统的很好的工具。

另一方面,Feigenbaum也在七十年代左右利用最简单的离散非线性动力一维Logistic方程得出了周期倍分岔参数收敛比率常数-δ=4.6692。而借助周期倍分岔,保守系统中的运动轨道就可以进入混沌状态。

孤立波[编辑 | 编辑源代码]

1840年,约翰·罗素发表了一篇报告,里面首次提出孤立波的概念,并得出计算其传播速度的公式。现在我们多看见的是KdV方程的精确解,一开始做为非线性水波方程的解不能满足一般方程的叠加原理,因此被冷落多时,直到计算机时代进行模拟后,证实了孤立波碰撞后形状、速度、振幅都不变。这样一来,孤立波就可以用粒子碰撞中的不变特性来做解释,因而引进了孤立子的概念。在此基础上,我们得到了非线性偏微分方程的分析道路,现在称之为反散射变换法。

分形[编辑 | 编辑源代码]

为了研究湍流间歇性的问题,分形的定义被引入来修改-5/3幂次定律,用以解释湍流流场的几何特征。它由无限多的点集组成为几何形体,并在大部分情况下具有非整数的分维数,满足Hausdorff维数比拓扑维数大的条件。

上面是关于本课程的一些大概叙述,试图为你们描绘一个比较完整的体系轮廓,具体的问题会在后期课程中详细解说。

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