非線性動力學引論

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混沌現象[編輯 | 編輯原始碼]

早在20世紀初,法國數學家龐加萊(Poincaré)就通過對三體問題的研究窺探到了非周期性的混沌現象,他指出在一些非線性系統中的運動軌跡非常依賴於初始條件的敏感性,這種現象可以理解為我們現在所熟知的「蝴蝶效應」的總結性特徵。這也成為了現在我們所研究的混沌的最核心的定義,並啟發了後來日本吸引子和Lorenz吸引子的發現。兩位科學家發現了確定性非線性動力學方程中有非周期性軌道,其中的一個現象,即奇怪吸引子成為了他們理論的核心。其中一位是來自美國的Lorenz,他當時正在研究大氣熱對流問題,他在電腦中模擬的大氣動力系統沒有周期性或靜止形成一點,反而形成了非周期性振動。當時計算機所反饋出來的混沌圖形,如同蝴蝶的兩個翅膀。

儘管Lorenz和Ueda所發現的兩個吸引力在現在已經劃分為奇怪吸引子,但是奇怪吸引子的概念是70年代才被確立的。流體力學中有一種問題叫做湍流問題,兩位數學家Ruelle和Takens在研究湍流的本質時提出了奇怪吸引子的概念。在Ruelle發展了可微動力系統中龐加萊的關於漩渦理論的一些想法後,他初步形成了敏感依賴初始條件的吸引子的概念,並和Takens完成了這一篇論文。

奇怪吸引子的概念對於傳統的力學界而言比較「奇怪」。當時針對流體的普遍看法是隨着外力增加,流體中被激發離散的獨立頻率數也會相應地不斷增加,這一論點卻和奇怪吸引子所對立,因為奇怪吸引子說明同樣情況下會產生一個連續的頻率譜。這一相對奇怪的結論經過同心圓柱之間的流體運動實驗成功後才得以被證實。然而值得注意的是,在耗散的非線性動力系統中才能存有奇怪吸引子。我們在課程中將會最先開始說明的經典非線性動力系統是保守的,其總相空間體積保持不變,因而無法存有奇怪吸引子。

保守系統[編輯 | 編輯原始碼]

保守非線性動力系統的最基礎運動是單擺運動,雙重擺運動為我們展現出了混沌運動軌跡。在現在的研究中,我們可以看到的針對保守系統的KAM定理規定了混沌現象中的規則KAM曲面,與其相聯繫的相似律中規定的自相似性及標度理論形成了研究湍流問題和保守系統的很好的工具。

另一方面,Feigenbaum也在七十年代左右利用最簡單的離散非線性動力一維Logistic方程得出了周期倍分岔參數收斂比率常數-δ=4.6692。而藉助周期倍分岔,保守系統中的運動軌道就可以進入混沌狀態。

孤立波[編輯 | 編輯原始碼]

1840年,約翰·羅素發表了一篇報告,裏面首次提出孤立波的概念,並得出計算其傳播速度的公式。現在我們多看見的是KdV方程的精確解,一開始做為非線性水波方程的解不能滿足一般方程的疊加原理,因此被冷落多時,直到計算機時代進行模擬後,證實了孤立波碰撞後形狀、速度、振幅都不變。這樣一來,孤立波就可以用粒子碰撞中的不變特性來做解釋,因而引進了孤立子的概念。在此基礎上,我們得到了非線性偏微分方程的分析道路,現在稱之為反散射變換法。

分形[編輯 | 編輯原始碼]

為了研究湍流間歇性的問題,分形的定義被引入來修改-5/3冪次定律,用以解釋湍流流場的幾何特徵。它由無限多的點集組成為幾何形體,並在大部分情況下具有非整數的分維數,滿足Hausdorff維數比拓撲維數大的條件。

上面是關於本課程的一些大概敘述,試圖為你們描繪一個比較完整的體系輪廓,具體的問題會在後期課程中詳細解說。

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